西师大版小学数学五上第五单元知识梳理与易错精讲

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第五单元 小数乘法 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能运用计数单位模型解释小数乘法的算理，正确进行小数乘法笔算2. 能根据乘数与1的大小关系判断积的变化，掌握估算方法和简便运算3. 能解决生活缴费、分段计费和阶梯计价等实际问题，体会小数乘法的应用价值二、重点• 小数乘法的算理与笔算方法• 积的小数点定位规则• 乘数与1的大小关系• 分段计费与阶梯计价的建模三、难点• 积的小数位数不够时用0补足• 估算时放大或缩小方向的判断• 分段计费中起步段与超出段的处理• 阶梯计价中各区间费用的分别计算学习支架计数单位相乘对应表乘数与1的大小关系四、知识要点1. 小数乘法的意义小数乘法的意义与整数乘法一脉相承。0.1×0.1就是求0.1的十分之一是多少，也就是把0.1平均分成10份取其中的1份。从百格图中可以看出，0.1是1个大格（10个小格），它的十分之一就是1个小格，即1/100，也就是0.01。由此推广：0.01×0.1就是求0.01的十分之一，结果是0.001。教材通过议一议总结出规律：两个乘数小数位数的和是几，积就有几位小数。这个规律是后续笔算中确定小数点位置的理论基础。理解小数乘法意义的关键在于把它和分数乘法联系起来：乘一个小于1的数相当于求这个数的几分之几，因此积不一定变大。这一认知为后面判断乘数与1的大小关系做好了准备。2. 小数乘法的口算方法口算小数乘法可以分解为两步：先算计数单位的个数相乘，再计算数单位相乘。例如1.2×0.6，1.2是12个0.1，0.6是6个0.1，所以1.2×0.6=(12×0.1)×(6×0.1)=(12×6)×(0.1×0.1)=72×0.01=0.72。这种方法揭示了小数乘法的本质：整数部分相乘决定有效数字，小数部分相乘决定小数点位置。教材在课堂活动中进一步引导：300×40=12000和0.3×0.4=0.12，两道题都要算3×4=12，区别在于计数单位不同——前者的计数单位是100和10，乘积为1000；后者的计数单位是0.1和0.1，乘积为0.01。掌握了计数单位相乘的原理，就能快速口算简单的小数乘法，也为竖式笔算中的小数点定位提供了理论依据。3. 小数乘法的笔算方法小数乘法的笔算步骤可以概括为三步：第一步，先按整数乘法算出积，不考虑小数点；第二步，看两个乘数一共有几位小数；第三步，从积的右边起数出相应的位数，点上小数点。例如0.72×24，先算72×24=1728，两个乘数共有两位小数（0.72有两位），所以从1728的右边起数两位，得17.28。再如8.35×1.8，先算835×18=15030，两个乘数共有三位小数，从右边起数三位，得15.030，化简为15.03。需要特别注意的是，先按整数乘法算出积后，不能急着去掉末尾的0，必须先点小数点再化简。小数乘法与整数乘法在竖式写法上也略有不同：小数乘法中乘数末尾对齐即可，不需要像加减法那样小数点对齐。4. 积的小数点定位与补零当积的小数位数不够时，需要用0补足再点小数点。例如0.26×0.14，先算26×14=364，两个乘数共有四位小数，但364只有三位整数，位数不够，需要在前面补一个0变成0364，再点小数点得0.0364。这是学生最容易出错的地方之一：有些学生看到364只有三位，不知道该怎么处理四位小数的要求。判断方法很简单：先数两个乘数小数位数的和，再从整数积的右边起数出相应位数；如果位数不够，就在前面补0，补到够为止，然后点小数点，最后在整数部分补0。另一个常见错误是积的末尾有0时处理不当：如1.25×0.8先算125×8=1000，共有四位小数，点小数点得0.1000，化简为0.1。正确顺序是先点小数点，再去掉末尾的0。5. 积的近似值在实际生活中，小数乘法的积往往不需要保留全部小数位数，这时要用四舍五入法取近似值。方法是先算出准确积，再看需要保留的小数位数的下一位：如果下一位是0、1、2、3、4就舍去（四舍），如果是5、6、7、8、9就向前一位进一（五入）。例如0.26×0.14=0.0364，保留两位小数时看小数点右边第三位是6，大于5所以进一，得到0.04。取近似值时要注意：题目要求保留几位小数，结果就应写出几位小数，即使末尾是0也不能省略。例如某积为2.500，要求保留两位小数时应写2.50而不是2.5。此外，近似值与准确值是不同的，表示近似值时一般用约等号。在解决实际问题时要根据情境判断需要保留几位小数，如人民币通常保留两位小数。6. 乘数与1的大小关系通过课堂活动中的对比计算（如3×9与0.3×9、43×25与43×2.5），教材引导学生发现规律：当一个乘数比1小时，积比另一个乘数小；当一个乘数比1大时，积比另一个乘数大；当一个乘数等于1时，积等于另一个乘数。这个规律可以帮助学生在计算后快速检验结果是否合理。例如3.27×2.7，因为2.7比1大，所以积应该比3.27大，如果算出的积小于3.27就说明出错了。但要注意，这个规律只适用于另一个乘数是正数的情况。学生常见的误区是认为两个小数相乘，积一定比两个乘数都小——这只在一个乘数小于1时才成立，如果两个乘数都大于1（如1.5×1.2=1.8），积反而比两个乘数都大。利用这个规律还可以快速比较大小，如比较3.27×2.7与3.27的大小，因为2.7大于1，直接得出3.27×2.7>3.27。7. 小数乘法的估算估算是检验计算结果和做出生活决策的重要手段。教材通过例7展示：带50元买肉，肉重1.9千克，单价24.9元/千克，够不够？估算时可以把24.9看作25，把1.9看作2，25×2=50元。因为两个数都适当放大了，实际花费不会超过50元，所以够了。估算的关键是选择合适的方向：要判断够不够时，通常把数据适当放大来估计上限；要判断至少需要多少时，可以适当缩小来估计下限。估算不需要精确计算，但结果要接近实际值且方向正确。例如49.8元/千克的藜麦买3.8千克，判断200元够不够：把49.8看作50，3.8看作4，50×4=200元，放大后刚好200元，所以实际花费不超过200元，够了。估算的另一个用途是在计算前预估结果的范围，帮助发现明显的计算错误。8. 乘法运算律的运用整数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用于小数乘法。教材通过例8展示：0.7×2×3.5可以按从左到右的顺序算，也可以用乘法结合律算0.7×(2×3.5)=0.7×7=4.9，后者更简便。在课堂活动中，0.8×1.2×12.5可以用乘法交换律和结合律：先算0.8×12.5=10，再算10×1.2=12。运用运算律的关键是发现哪些数相乘能得到整数或便于计算的数。常见模式包括：0.8×12.5=10、0.25×4=1、0.5×2=1等。运用运算律时要注意：交换的是乘数的位置，不是运算顺序；结合律改变的是运算顺序，不是乘数本身。在连乘问题中，合理运用运算律可以大大简化计算。但也要注意验证：不是所有情况都能简便，有时候按顺序算反而更直接。9. 生活缴费问题生活中水费、电费、天然气费的计算是小数乘法的典型应用。这类问题的共同特点是：需要先通过表读数差算出实际用量，再用单价乘用量算出费用。例如天然气费：7月1日读数478立方米，8月1日读数506立方米，实际用量=506-478=28立方米，费用=2.04×28=57.12元。水费、电费的计算方法完全相同。解决这类问题的关键是理解表读数的含义——表上的读数是累计使用量，而不是当月用量，必须用本月读数减去上月读数才能得到当月实际用量。有些变式问题还涉及淡旺季不同单价的情况，需要分段计算后比较差值。这类问题培养学生从生活情境中提取数学信息、建立数学模型的能力。10. 分段计费问题分段计费是生活中常见的计费方式，如出租车计费、快递计费等。以出租车为例：起步价10元（3千米以内），超过3千米的部分按每千米1.8元计费（不足1千米按1千米算）。行程12千米的计算方法是：先算超出部分12-3=9千米，再算超出费用1.8×9=16.2元，总费用=10+16.2=26.2元。也可以用另一种方法：假设全部按1.8元/千米算12×1.8=21.6元，再补起步价差额10-3×1.8=4.6元，总费用=21.6+4.6=26.2元。两种方法结果相同。分段计费的关键是分清哪部分属于起步段、哪部分属于超出段，以及不足1千米按1千米向上取整的处理。常见的错误是把全程都按超出段单价计算，或者忘记加起步价。11. 阶梯计价问题阶梯计价与分段计费不同：分段计费是不同区间用不同单价分别计算后求和，而阶梯计价也是分段但每段的单价适用于该段内的用量。以阶梯电价为例：月用电量不超过200千瓦时按0.52元/千瓦时；超过200但不超过400的部分按0.57元/千瓦时；超过400的部分按0.82元/千瓦时。如果用电230千瓦时，费用分两部分：前200千瓦时费用=200×0.52=104元，超出部分=30×0.57=17.1元，总费用=104+17.1=121.1元。常见错误是把全部用量都按最高单价计算。阶梯水价也是类似原理：25吨水在20吨及以下按3.45元/吨、21至30吨按4.22元/吨，费用=20×3.45+5×4.22=69+21.1=90.1元。解决阶梯计价问题的关键是准确判断用量落在哪个区间，然后分段计算。12. 综合应用小数乘法的综合应用涉及多种生活场景，需要灵活运用前面学过的计算方法、估算、运算律以及分段和阶梯计费的知识。例如手机套餐问题：基础费用79元含300分钟主叫和20G流量，超出主叫0.15元/分，超出流量5元/G。上月主叫340分钟、流量23G，总费用=79+(340-300)×0.15+(23-20)×5=79+6+15=100元。再如高速公路收费：不同车道类型和车型有不同单价，需要分段计算。还有电梯速度问题：每层楼高2.9米，电梯每秒3.8米，23秒能否从1层到30层——需要算出30层的高度（29个层高×2.9=84.1米），再算电梯23秒的行程（3.8×23=87.4米），比较判断。综合应用题通常需要多步计算，关键是理清数量关系，确定先算什么再算什么，并注意单位的统一。易错汇总易错点 1【错因】没有从积的右边起数够小数位数，位数不够时忘记补0【自检方法】算完后检查：两个乘数小数位数之和是否等于积的小数位数易错点 2【错因】颠倒了点小数点和去末尾0的顺序【自检方法】记住口诀：先点小数点，再去末尾0易错点 3【错因】把小数乘法和整数乘法混淆，或只考虑了乘数小于1的情况【自检方法】判断乘数与1的大小关系，再推断积的变化方向易错点 4【错因】估算方向选择不当，没有根据问题目的确定放大还是缩小【自检方法】先明确估算目的（判断够不够还是求至少），再选择放大或缩小易错点 5【错因】没有区分起步段和超出段，把全程都按超出段单价计算【自检方法】先减去起步距离，再算超出部分的费用，最后加上起步价易错点 6【错因】把全部用量都按超出的最高单价计算，没有分段【自检方法】先判断用量落在哪个区间，再分段分别计算后求和易错点 7【错因】没有观察哪些数相乘能得到整数，机械按顺序计算【自检方法】计算前先观察乘数中有没有相乘得整数的组合（如0.8×12.5=10、0.25×4=1）五、易错精讲【例1】计算0.26×0.14，得数保留两位小数。【解题思路】先按整数乘法算出积，再看两个乘数小数位数的和确定小数点位置，最后用四舍五入取近似值。【解答】先算26×14=364。两个乘数共有四位小数（0.26有两位，0.14有两位），从364的右边起数四位，位数不够用0补足，得0.0364。保留两位小数，看小数点右边第三位是6，大于5向前一位进一，约等于0.04。【易错点】位数不够时要补0再点小数点，不能直接写0.364；取近似值时用约等号。【例2】不计算，比较3.27×2.7与3.27的大小，并说明理由。【解题思路】观察乘数2.7与1的大小关系，利用规律判断积的变化方向。【解答】因为2.7比1大，根据规律当一个乘数比1大时积比另一个乘数大，所以3.27×2.7>3.27。【易错点】不能因为是小数乘法就认为积一定变小，要看乘数与1的关系。【例3】藜麦米每千克49.8元，买3.8千克，200元够吗？用估算说明。【解题思路】判断够不够的问题，应该适当放大来估计上限，如果放大后都不超过200元就肯定够了。【解答】把49.8看作50，把3.8看作4，50×4=200元。两个数据都放大了，实际花费不会超过200元，所以200元够了。【易错点】估算方向要服务于问题目的——判断够不够时放大估计上限。【例4】用简便方法计算0.8×1.2×12.5。【解题思路】观察三个乘数，0.8和12.5相乘正好得10，可以利用乘法交换律和结合律改变运算顺序。【解答】0.8×1.2×12.5=0.8×12.5×1.2=(0.8×12.5)×1.2=10×1.2=12。运用乘法交换律把1.2和12.5交换位置，再用乘法结合律先算0.8×12.5。【易错点】简便运算前先观察哪些数相乘得整数，不能盲目改变顺序。【例5】某市出租车收费标准：起步价10元（3千米以内），超过3千米的部分按每千米1.8元计费（不足1千米按1千米算）。小明乘车行程12千米，需要付多少元？【解题思路】先算超出起步距离的路程，再算超出部分的费用，最后加上起步价。【解答】超出部分：12-3=9（千米）。超出费用：1.8×9=16.2（元）。总费用：10+16.2=26.2（元）。答：需要付26.2元。【易错点】不能把全程都按1.8元/千米算；起步3千米内只付起步价10元。【例6】某市实行阶梯电价：月用电量不超过200千瓦时按0.52元/千瓦时计费；超过200但不超过400的部分按0.57元/千瓦时计费。小明家上月用电230千瓦时，应缴电费多少元？【解题思路】230千瓦时超过了200，需要分段计算：前200千瓦时按0.52元，超出部分按0.57元。【解答】前200千瓦时费用：200×0.52=104（元）。超出部分：230-200=30（千瓦时），费用：30×0.57=17.1（元）。总费用：104+17.1=121.1（元）。答：应缴电费121.1元。【易错点】不能把全部用量都按0.57元计算，要分段分别计算后求和。易 错 专 练基础辨析1. 两个乘数小数位数的和是几，积就有几位小数。（　　）2. 0.3×0.4的积比0.3大。（　　）3. 计算1.25×0.8时，应先去掉积末尾的0再点小数点。（　　）4. 用竖式计算：0.72×245. 用竖式计算：3.1×1.26. 用竖式计算并保留两位小数：0.26×0.147. 8.35×1.8中，两个乘数共有（________）位小数，积是（________）。8. 在○里填“>”“；<【解析】2.7比1大，积比3.27大；0.62比1小，积比398小。【易错点】根据乘数与1的大小关系判断。第9题：B【解析】0.48有两位小数，3.2有一位小数，共三位。先算48×32=1536，从右边起数三位得1.536。【易错点】先按整数算出积再定位，不要被乘数本身的小数位数误导。第10题：6.825【解析】先算273×25=6825，两个乘数共有三位小数，从右边起数三位，得6.825。【易错点】273×25=6825，三位小数，不要漏掉末尾的5。第11题：够了。把49.8看作50，3.8看作4，50×4=200元。两个数都放大了，实际花费不超过200元。【解析】判断够不够的问题应放大估计上限，放大后刚好200元，所以实际够了。【易错点】估算方向要服务于问题目的。第12题：6【解析】8×1.25=10，10×0.6=6。用乘法交换律把0.6和1.25交换位置，再用结合律先算8×1.25。【易错点】先观察哪些数相乘得整数。第13题：57.12元【解析】实际用量=506-478=28立方米，费用=2.04×28=57.12元。【易错点】表读数是累计量，要用本月减上月得到实际用量。第14题：31.6元【解析】超出部分15-3=12千米，超出费用1.8×12=21.6元，总费用10+21.6=31.6元。【易错点】先减起步距离再算超出费用，最后加起步价。第15题：88.4元【解析】170千瓦时没有超过200，全部按0.52元计算：170×0.52=88.4元。【易错点】要先判断用量落在哪个区间，不超200就不需要分段。第16题：4.2×0.80.9【解析】0.8比1小，积比4.2小；1.5比1大，积比0.9大。【易错点】根据乘数与1的大小关系判断，不盲目认为小数乘法积一定变小。第17题：1.33千克【解析】0.07×19=1.33。先算7×19=133，0.07有两位小数，从右边起数两位，补0得0.133——注意0.07有两位小数，19有零位小数，共两位，133从右边数两位得1.33。【易错点】注意0.07×19中只有0.07有小数位，共两位小数。第18题：方法一：0.7×2=1.4，1.4×3.5=4.9。方法二：2×3.5=7，0.7×7=4.9。方法二更简便。【解析】方法二用乘法结合律先算2×3.5=7，再算0.7×7=4.9，计算更简便。【易错点】运用运算律可以改变运算顺序使计算简便。第19题：90.1元【解析】前20吨费用：20×3.45=69元。超出部分：25-20=5吨，费用：5×4.22=21.1元。总费用：69+21.1=90.1元。【易错点】分段计算：前20吨按3.45元，超出5吨按4.22元，不能全部按一个单价。第20题：100元【解析】超出主叫：340-300=40分钟，费用40×0.15=6元。超出流量：23-20=3G，费用3×5=15元。总费用：79+6+15=100元。【易错点】基础费用加超出部分费用，超出部分分别计算。第21题：81元【解析】四车道费用：0.45×120=54元。六车道费用：0.6×45=27元。总费用：54+27=81元。【易错点】不同车道不同单价，分段计算后求和。第22题：能。29×2.9=84.1米，3.8×23=87.4米，87.4>84.1，所以能到达。【解析】第1层到第30层需要上升29个层高：29×2.9=84.1米。电梯23秒上升：3.8×23=87.4米。87.4>84.1，所以23秒能到达第30层。【易错点】到第30层只有29个层高（不是30个），需要先算总高度再与电梯行程比较。算式计数单位个数相乘计数单位相乘积0.1×0.11×1=10.1×0.1=0.010.011.2×0.612×6=720.1×0.1=0.010.720.72×2472×24=17280.01×1=0.0117.280.26×0.1426×14=3640.01×0.01=0.00010.0364乘数大于1乘数小于13.27×2.7：2.7比1大，积比3.27大398×0.62：0.62比1小，积比398小常见错误正确认识计算0.26×0.14时，先算26×14=364，直接写成0.364两个乘数共有四位小数，364只有三位，需要补0得0.0364常见错误正确认识计算1.25×0.8时，先去掉1000末尾的0再点小数点应先点小数点得0.1000，再去掉末尾的0化简为0.1常见错误正确认识认为两个小数相乘，积一定比两个乘数都小只有当一个乘数小于1时，积才比另一个乘数小；两个大于1的小数相乘，积反而更大常见错误正确认识估算时把所有数据都缩小，导致判断'够'但实际不够判断够不够时应适当放大估计上限，判断至少多少时应适当缩小估计下限常见错误正确认识出租车行程12千米，直接用1.8×12=21.6元起步3千米内付起步价10元，只有超出部分才按1.8元/千米算，总费用=10+1.8×9=26.2元常见错误正确认识用电230千瓦时，直接用230×0.57=131.1元应分段计算：前200千瓦时按0.52元，超出30千瓦时按0.57元，总费用=200×0.52+30×0.57=121.1元常见错误正确认识计算0.8×1.2×12.5时，把0.8和1.2相乘再乘12.5，没有利用简便方法可以用乘法交换律和结合律：0.8×12.5=10，10×1.2=12