小学数学西师大版（2024）五年级上册（2024）平行四边形的面积精品第1课时随堂练习题

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本课核心问题
怎样把平行四边形转化为我们会算面积的图形，从而推导出平行四边形的面积公式？
一、学习目标
1. 通过割补法操作，理解平行四边形面积公式的推导过程，能说出拼成的长方形的长和宽与平行四边形的底和高之间的对应关系
2. 掌握平行四边形面积计算公式 S=底×高，能正确计算平行四边形的面积
3. 能运用平行四边形面积公式解决停车位、花圃等简单的实际问题
二、重点
• 平行四边形面积计算公式的推导过程（割补转化法）
• 平行四边形面积公式的正确应用
三、难点
• 理解平行四边形面积公式推导中的转化思想：为什么沿高剪开就能拼成长方形，以及底和高与长和宽的对应关系
学习支架
平行四边形转化为长方形
转化前后图形要素对应关系
割补法推导步骤
1. 第一步：沿平行四边形的一条高剪开，分成两个图形
2. 第二步：将左边的小三角形向右平移
3. 第三步：拼成一个长方形
4. 第四步：观察对应关系——长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高
5. 第五步：根据长方形面积=长×宽，推导出平行四边形面积=底×高
四、知识要点
1. 割补法——平行四边形转化为长方形
我们已经学过长方形的面积=长×宽。那么平行四边形的面积怎样计算呢？可以借助方格纸来研究。把一个平行四边形放在方格纸上（每个方格表示1 cm²），通过数格子的方法可以知道它的面积。但数格子比较麻烦，而且不精确。更巧妙的方法是“割补法”：1. 沿平行四边形的一条高剪开，把平行四边形分成两个图形——一个三角形和一个梯形（或两个梯形）。2. 将左边的小三角形向右平移，拼到梯形的右边。3. 拼合后就得到了一个长方形。关键发现：- 无论沿哪一条高剪开，都能拼成长方形。- 拼成的长方形和原来的平行四边形面积相等（因为只是把图形的一部分移动了位置，没有增加也没有减少）。- 拼成的长方形的长等于原平行四边形的底。- 拼成的长方形的宽等于原平行四边形的高。为什么必须沿高剪开？因为只有沿高剪开，剪口才是垂直于底的，平移后才能与另一边对齐形成直角，从而拼成长方形。如果沿其他方向剪开，拼出来的图形就不是长方形了。这种把未知图形转化为已知图形来研究的方法，在数学中叫做“转化思想”，是学习几何面积非常重要的方法。
2. 平行四边形的面积公式
通过割补法，我们把平行四边形转化成了长方形，并且发现了它们之间的对应关系：长方形的长 = 平行四边形的底
长方形的宽 = 平行四边形的高
长方形的面积 = 平行四边形的面积
因为 长方形的面积 = 长 × 宽
所以 平行四边形的面积 = 底 × 高
用字母表示：S = a × h
（S表示面积，a表示底，h表示高）
注意事项：1. 公式中的“高”必须是“底”对应的高。平行四边形有两组底和高，计算时底和高必须对应。2. 不能用邻边（斜边）代替高。邻边是倾斜的边，高是垂直于底的线段，两者长度不同。3. 底和高的单位要统一。如果底以米为单位，高也要以米为单位，面积单位才是平方米。例如：一个平行四边形的底是8 cm，高是4 cm，侧边（邻边）是5 cm。正确算法：面积 = 8 × 4 = 32（cm²）
错误算法：面积 = 8 × 5 = 40（cm²）← 用邻边代替了高，结果错误！为什么不能用邻边？因为在割补转化中，拼成的长方形的宽等于高（4 cm），不等于邻边（5 cm）。邻边在转化过程中变成了斜线被拉直，长度发生了变化。
3. 平行四边形面积公式的应用
掌握了平行四边形面积公式后，我们可以解决很多实际问题。基本应用——直接计算面积：知道底和高，直接代入公式计算。例：平行四边形花坛，底12 m，高7 m，面积 = 12 × 7 = 84（m²）
逆向应用——已知面积和底求高：因为 S = 底 × 高，所以 高 = S ÷ 底。例：面积48 m²，底6 m，高 = 48 ÷ 6 = 8（m）
多步应用——计算多个图形的总面积：例：一个平行四边形停车位底6 m，高2.5 m，25个这样的停车位总面积：先求一个：6 × 2.5 = 15（m²）
再求25个：15 × 25 = 375（m²）
综合应用——结合单价、产量等条件：例：平行四边形果园，底18 m，高24 m，每棵梨树占地9 m²，每棵年产梨卖350元。果园面积 = 18 × 24 = 432（m²）
梨树棵数 = 432 ÷ 9 = 48（棵）
年收入 = 350 × 48 = 16800（元）
解题时要注意：1. 认真审题，找出底和高的对应数值。2. 注意单位是否统一。3. 多步计算时，先求面积，再根据问题逐步计算。4. 最后写出完整的答语。
五、典型例题
【例1】
一个平行四边形，底是10 cm，高是6 cm，邻边长是7.5 cm。求这个平行四边形的面积。
【解答】已知条件：底 = 10 cm，高 = 6 cm，邻边 = 7.5 cm
分析：计算平行四边形面积需要用底和对应的高的乘积，不能用邻边。列式计算：S = 底 × 高
S = 10 × 6
S = 60（cm²）
答：这个平行四边形的面积是60 cm²。
【点拨】题目中给出的邻边（7.5 cm）是干扰信息。记住：平行四边形面积 = 底 × 高，与邻边无关。可以用割补法验证——拼成的长方形宽是高（6 cm），不是邻边（7.5 cm）。
【例2】
学校操场旁有一块平行四边形草坪，底是15 m，高是8 m。如果每平方米草坪需要施肥0.5千克，这块草坪一共需要多少千克肥料？
【解答】第一步：求草坪的面积
S = 底 × 高
S = 15 × 8
S = 120（m²）
第二步：求需要的肥料总量
肥料 = 面积 × 每平方米用量
肥料 = 120 × 0.5
肥料 = 60（千克）
答：这块草坪一共需要60千克肥料。
【点拨】解决实际问题时要分步思考：先根据已知条件求出面积，再根据问题要求进行下一步计算。注意每一步都要写清单位。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 平行四边形的面积 =（________）×（________），用字母表示为 S =（________）。
2. 把一个平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个长方形。拼成的长方形的（________）等于平行四边形的底，长方形的（________）等于平行四边形的高。
3. 一个平行四边形的底是9 cm，高是5 cm，它的面积是（________）cm²。
4. 一个平行四边形的面积是72 m²，底是12 m，它的高是（________）m。
5. 平行四边形的面积等于底乘邻边。（ ）
6. 两个平行四边形如果等底等高，那么它们的面积一定相等。（ ）
7. 计算下面平行四边形的面积：底=13 dm，高=7 dm。
8. 计算下面平行四边形的面积：底=24 cm，高=15 cm，邻边=20 cm。
9. 一个平行四边形的底是7 m，高是3 m，邻边是5 m。求面积的算式正确的是（________）。
A. 7×5 B. 7×3
C. 5×3 D. （7+5）×2
10. 一个平行四边形的底是5.5 m，高是4 m，它的面积是（________）m²。
★★ 能力提升
11. 下面三个平行四边形中，面积最大的是（________）。甲：底10 cm，高6 cm
乙：底12 cm，高5 cm
丙：底8 cm，高8 cm
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 三个面积相等
12. 学校有一块平行四边形花圃，底是20 m，高是15 m。如果每平方米种4株月季花，这块花圃一共能种多少株月季花？
13. 一个平行四边形广告牌，底是4.5 m，高是3 m。给这个广告牌刷油漆，每千克油漆可以刷6 m²。刷完这个广告牌需要多少千克油漆？
14. 把一个长方形木条框拉成一个平行四边形后（边长不变），下面说法正确的是（________）。
A. 面积不变，周长不变 B. 面积变小，周长不变
C. 面积变小，周长变小 D. 面积不变，周长变小
★★★ 拓展延伸
15. 一个平行四边形果园，底是16 m，高是12 m。果园里种梨树，每棵梨树占地6 m²，每棵梨树年产梨卖280元。这个果园一年的梨销售收入是多少元？
16. 一块平行四边形菜地，底是30 m，高是20 m。如果每平方米菜地收入45元，这块菜地的一半能收入多少元？
17. 有一个平行四边形，底是10 cm，高是6 cm。如果把它的底扩大到原来的2倍，高缩小到原来的一半，新平行四边形的面积是多少？面积与原来相比有什么变化？
参 考 答 案
第1题：底；高；a×h
第2题：长；宽
第3题：45
第4题：6
第5题：×
【解析】平行四边形的面积=底×高，不是底×邻边。邻边是倾斜的边，高是垂直于底的线段，两者长度不同。在割补转化中，拼成的长方形的宽等于高，不等于邻边。
第6题：√
【解析】因为平行四边形面积=底×高，底和高都相等时，面积必然相等。与图形的形状（倾斜程度）无关。
第7题：91 dm²
【解析】面积 = 底 × 高 = 13 × 7 = 91（dm²）
第8题：360 cm²
【解析】面积 = 底 × 高 = 24 × 15 = 360（cm²）。邻边20 cm是干扰信息，计算面积时不需要用到邻边。
第9题：B
【解析】平行四边形面积=底×高=7×3。A选项用的是底×邻边，是常见错误。
第10题：22
第11题：C
【解析】甲面积=10×6=60（cm²），乙面积=12×5=60（cm²），丙面积=8×8=64（cm²）。丙的面积最大。
第12题：1200株
【解析】花圃面积=20×15=300（m²），月季花株数=300×4=1200（株）。先求面积，再乘每平方米株数求总株数。
第13题：2.25千克
【解析】广告牌面积=4.5×3=13.5（m²），需要油漆=13.5÷6=2.25（千克）。先求面积，再用面积÷每千克可刷面积求需要多少千克油漆。
第14题：B
【解析】拉成平行四边形后，四条边的长度不变，所以周长不变。但拉的过程中高变短了（底不变，高变小），所以面积变小。
第15题：8960元
【解析】果园面积=16×12=192（m²），梨树棵数=192÷6=32（棵），年收入=280×32=8960（元）。三步计算：先求面积，再求棵数，最后求年收入。
第16题：13500元
【解析】菜地总面积=30×20=600（m²），一半的面积=600÷2=300（m²），一半的收入=300×45=13500（元）。也可以先求总收入再除以2：30×20×45÷2=13500（元）。
第17题：60 cm²，面积没有变化
【解析】原面积=10×6=60（cm²），新底=10×2=20（cm），新高=6÷2=3（cm），新面积=20×3=60（cm²）。底扩大2倍同时高缩小到一半，乘积不变，所以面积不变。比较项目
平行四边形
拼成的长方形
关系
底
底（AB）
长（EF）
底 = 长
高
高（DE）
宽（DE）
高 = 宽
面积
底 × 高
长 × 宽
面积相等
周长
四边之和
四边之和
不一定相等