苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形一课一练

这是一份苏科版（2024）八年级上册（2024）1.5 等腰三角形一课一练，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（ ）
A．28B．30C．32D．34
4．如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（ ）
A．垂直平分B．点D在的平分线上
C．∆AEF≌∆DEF D．的周长为
5．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②④⑤B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①②③
二、填空题
6．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______．
7．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________．
8．已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____．
9．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形．
10．如图，均是等边三角形，E，F分别是边上的两个动点，且满足与交于点G，连接．
（1）的度数是________ ；
（2）若，则_______ ．
三、解答题
11．如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且，
(1)求的度数；
(2)求证：．
12．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，，求的长．
13.如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上．
(1)求证：点为的中点；
(2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长．
14.如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、．
(1)求证：是等边三角形；
(2)连接交于点，若，，求的长．
15.已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且．
(1)如图1，若为的中点，，求的长．
(2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长．
16.如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若也为等边三角形，且，，求的长．
17.问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
(1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：．
证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接；
【知识应用】
(2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长．
18.解决问题
(1)问题发现
如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数；
(2)拓展探究
①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数；
②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式．
参考答案
一、单选题
1．A
解：由刻度尺的读数可知，，
在中，点是斜边的中点，
∴．
2．A
解：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．B
解：是等边三角形，
，
，
，，
边上的高与边上的高相同，
，
的面积为，
，
边上的高与的边上的高相同，
，
，
．
故选：B．
4．C
解：如图，连接，
在等边三角形中，，，
，
垂直平分，故A正确；
如图，延长到使，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
即点D在的平分线上，故B正确；
的周长为，故D正确，
根据题意，无法判断∆AEF≌∆DEF ，故C错误．
5．C
解：①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，故①正确；
②，
在和中，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③ 与②的过程同理得：，
∴，故③正确；
④∵，，
∴
∴，
∵，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤．
二、填空题
6．6
解：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：
．
7．18
解：连接，
∵点D是中点且于点D，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵点E是中点且于点E，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．8
解：如图，过点D作交于点H．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
9．或或
解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴
即：，
在和中，
∴，
∴，
∵
∴，
，
由三角形内角和得：
等腰三角形，分三种情况：
若：则，即，解得；
若：则，即，解得；
若：则，即，解得
综上，的度数为、或．
10． 10
解：（1）∵都是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长到点H，使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：10．
三、解答题
11．（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是的边上的中线，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴．
12．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13.(1)证明：为等边三角形，
，．
为直角三角形，
，
，
，即，
，
，
即点为的中点．
（2）解：由平移得，，，，
．
由（1）可知，，，
，，
，
，
．
答：的长为．
14.(1)证明：在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（1）解：为等边三角形，
，，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
(2)，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，即，
，
，即，
在中，
，
，
，
；
（3）解：如图，过作交延长线于点，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
16.（1）解：是等边三角形，
．
，
．
，
，
；
（2）解： ∵是等边三角形，
．
是等边三角形，
，
．
17.（1）证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示：
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18.（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴ ．
在和中，，
∴．
∴．
∵为等边三角形，
∴．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∴．
∴．
（2）解：①∵和均为等腰直角三角形，
∴，．
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∴．
∴；
②设的面积为，的面积为，
∵，
∴与的面积相等，
∵为面积，为面积，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即．