【同步讲义】苏科版数学八年级上册：专题06 等边三角形的判定和性质综合题 讲义（导图+易错点拨+易错题专训）

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专题06 等边三角形的判定和性质（综合题）

易错点拨

知识点：等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
易错题专训

一．选择题
1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【易错思路引导】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；
【规范解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
【考察注意点】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．
2．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．三个角都相等的三角形是等边三角形．
【易错思路引导】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．
【规范解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；
C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；
D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【易错思路引导】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．
【规范解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G

∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形
B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形
C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形
D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形
【易错思路引导】把点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断．
【规范解答】解：当点Q移动到MQ＝2，此时Q在A的左侧，且AQ＝AP＝1，△APQ是等腰三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝1时，△APQ是等边三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝2AP＝2时，△APQ是直角三角形，
∴在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【易错思路引导】延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，根据等边三角形的判定求出△BEM是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠EMB＝60°，BM＝EM＝BE＝6，求出DM，求出MN，求出BN，再根据等腰三角形的性质求出BC即可．
【规范解答】解：延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，

∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴EM＝BM，
∴△BEM是等边三角形，
∴BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°，
∵BE＝6，
∴EM＝BM＝BE＝6，
∵DE＝2，
∴DM＝6﹣2＝4，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝90°﹣∠EMB＝30°，
∴MN＝DM＝2，
∵BM＝6，
∴BN＝BM﹣MN＝6﹣2＝4，
∴BC＝2BN＝8，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出MN的长是解此题的关键．
6．（2021秋•北安市校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【易错思路引导】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．
【规范解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④
故选：A．


【考察注意点】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二．填空题
7．（2020秋•江阴市期中）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 　①②③④　．（填序号）

【易错思路引导】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB＝OC＝OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解题；
③在AC上截取AE＝PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO＝CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【规范解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．



【考察注意点】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
8．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝58米，则AC＝　58　米．

【易错思路引导】根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【规范解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝58米，
∴AC＝58米．
故答案为：58．
【考察注意点】考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到△ABC是等边三角形．
9．（2020秋•历下区期末）如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝　14　．

【易错思路引导】AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，证明△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，证出△PGH是等边三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
【规范解答】解：把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14；
故答案为：14．

【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定与性质、多边形内角和定理等知识；证明△PGH为等边三角形是解题的关键．
10．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于　3　．

【易错思路引导】连接AA′，先由点M是线段AC、线段A′C′的中点可知，AM＝MC＝A′M＝MC′＝3，故可得出∠MCA′＝∠MA′C＝30°，故可得出∠MCB′的度数，根据四边形内角和定理可得出∠C′MC的度数，进而可判断出△AA′M的形状，进而得出结论．
【规范解答】解：连接AA′，
∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC＝6，
∴AM＝MC＝A′M＝MC′＝3，
∵∠MA′C＝30°，
∴∠MCA′＝∠MA′C＝30°，
∴∠MCB′＝180°﹣30°＝150°，
∴∠C′MC＝360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）＝180°﹣（150°+60°+90°）＝60°，
∴∠AMA′＝∠C′MC＝60°，
∴△AA′M是等边三角形，
∴AA′＝AM＝3，
故答案为：3．

【考察注意点】本题考查的是等边三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
11．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【易错思路引导】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【规范解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【考察注意点】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
12．（2014•德阳）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　400　．

【易错思路引导】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．
【规范解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．

【考察注意点】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．
13．（2010•梅州模拟）如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝　3　．

【易错思路引导】由已知条件可推出△BPP′为等边三角形，从而得到PP′＝BP＝3．
【规范解答】解：因为△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，
∴∠PBP′＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴PP′＝BP＝3．
故答案为：3．
【考察注意点】此题主要考查等边三角形的性质及判定的运用．
三．解答题
14．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．

【易错思路引导】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【规范解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；

（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
15．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．

【易错思路引导】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可得∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论；
（3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可；
【规范解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵AE＝EB＝BD，
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；

（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；

（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．

【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定和性质性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
16．（2020秋•洮北区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

【易错思路引导】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
【规范解答】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．



（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．

【考察注意点】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
17．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【易错思路引导】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【规范解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

【考察注意点】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
18．（2021秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．

【易错思路引导】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【规范解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．

（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【考察注意点】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
19．（2020秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．

【易错思路引导】（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC＝∠C＝60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ＝60°，再根据余角的性质得到∠PBQ＝30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
【规范解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．

（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
【考察注意点】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．
20．（2016秋•高密市期中）如图所示，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，试问：△ABC是等边三角形吗？请说明理由．

【易错思路引导】由△DEF是等边三角形，得到∠DEF＝60°，由邻补角的定义得到∠BEC＝120°，得到∠BCE+∠2＝60°，推出∠ACB＝60°，于是得到结论．
【规范解答】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠BCE+∠2＝60°，
∵∠2＝∠3，
∴∠BCE+∠3＝60°，
∴∠ACB＝60°，
同理∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【考察注意点】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键