初中数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明教案

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学科
数学
年级
八
课型
新授课
单元
13
课题
13.2.3命题与证明
课时
3
教材分析
本节教材以“三角形内角和定理”为核心，从直观剪拼到严格证明，引导学生体会数学的严谨性。其编排遵循从实验几何到论证几何的过渡，重点突出了证明的必要性和基本方法（如添加辅助线）。教材通过定理的证明与应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和转化思想，为后续学习四边形、相似形等内容奠定了坚实的理论基础。
学情
分析
学生在小学已通过操作感知内角和为180°，具备一定的直观基础，但缺乏严谨的证明能力。进入初中，他们正处在从感性认知向理性逻辑转变的关键期。部分学生对抽象证明感到困难，尤其是辅助线的添加感到突兀。教学中需搭建“脚手架”，引导学生理解证明思路的来源，化解思维难点，激发其探究欲望，逐步适应逻辑推理的要求。
核心素养目标
1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2
2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处
3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力
教学重点
掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2
教学难点
辅助线的添加
教学
准备
多媒体课件
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、温故
复习提问，温故孕新
回想一下证明的一般步骤是什么？
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
学生回顾旧知，回答问题
通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新
创设情境，引入课题
我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系.
学生思考回答问题
让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究
合作探究，活动领悟
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证.
命题：三角形的内角和等于180°.
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC到D，过点C作CE∥AB，
如图13-2-7，
∴∠1=∠ ，( )
∠2=∠ ，( )
∵∠ +∠ +∠ACB=180°，( )
∴∠ +∠ +∠ACB=180°.( )
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结：为了证明三个角的和为180°，将三个内角转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.
在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.
推论1：直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．
在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形°．
教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流
小组讨论，归纳
通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式
师生互动，变式深化
例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°.
证明：D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( )
∠C=∠1 . ( )
∠2=∠4 . ( )
∴∠2=∠A . ( )
∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( )
∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换)
学生思考解答
通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试
尝试练习，巩固提高
1.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A.90° B.135° C.270° D.315°
2.在△ABC中，若∠A=40°，∠B=100°，则∠C的度数为( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
3.如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，且∠A=30°， ∠B=40°，则∠BFD的度数为 ，∠C的度数为 .
4.如图，∠1= °.
5.如图，AD、BE分别是BC、AC边上的高，O是AD、BE的交点，若∠AOB＝∠C＋20°.求∠OBD、∠C.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升
适时小结，兴趣延伸
回顾这节课你学到了什么？
1.三角形内角和定理的证明
2.三角形内角和定理的推论1和推论2
各小组思考，代表总结本节课内容
学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计
1.一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，这个三角形一定( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
2. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（ ）
A.60 ° B.65 C.75 ° D.80 °
3.如图，把△ABC沿直线DE翻折，若∠1＋∠2＝70°，则∠B＝ .
4.在Rt△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝2∶ m ∶4，则 m 的的值是 .
5.已知：如图所示，△ABC中，∠AFB=135°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，试证明△ABC为直角三角形．
教学反思
本节课成功引导学生完成了从实验猜想到逻辑证明的跨越。通过动手操作激发了兴趣，但证明环节部分学生思维受阻。今后需更细致地剖析添加辅助线的动机，采用问题串引导学生自主发现证明思路。同时，应增加变式练习，帮助学生灵活应用定理，并渗透“转化”的数学思想，使知识掌握得更系统、更深刻。