初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明优质课ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明优质课ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了三角形的外角的概念，三角形的外角的性质，你还有其他解法吗，三角形的外角和，则易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，第1题，第2题，第3题，第4题等内容，欢迎下载使用。
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（重点）
定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有 6 个外角．
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEF 和△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
问题3 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
问题4 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，∴∠A +∠B =∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
证明：过 C 作 CE∥AB，
则∠1 = ∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
解：∵∠2 = ∠1 +∠B，∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∠B +∠C =∠CAD
∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C
三角形内角和定理的推论
例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°，
∴∠BFC = 88°.
例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数．
解：延长 BP 交 AC 于点 E，则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE = ∠2 + ∠3，∠CBF = ∠1 + ∠3，∠ACD = ∠1 + ∠2.又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②，∠ACD +∠3 = 180°③，又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°，①+ ②+ ③得∠BAE +∠CBF +∠ACD+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
解法三：过 A 作 AM∥BC，
所以 ∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM ＝360°
∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于 360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
知识点1 三角形外角的定义1.如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上.下列是△ABD的外角的是(　　)A.∠BCF B.∠CBE　　C.∠DBC D.∠BDF
知识点2 三角形外角的性质2.［2025威海］如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°.则∠2等于(　　)A.42°　　B.38°　　C.36°　　D.30°
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD且分别交AB，AD，AC及BC的延长线于点E，H，F，G.若∠B＝45°，∠ACB＝75°，则∠G＝(　　)A.15°　　B.22.5°　　C.27.5°　　D.30°
4.如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在A′处，折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(　　)A.γ＝180°－α－β　　B.γ＝α＋2βC.γ＝2α＋β　　D.γ＝α＋β
5.如图，D是△ABC的边BC上一点，AE平分∠BAD，∠CAE＝∠CEA，∠C＝∠BAD，若∠B＝40°，求∠CAE的度数.
【解】如图.∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵∠CAE＝∠CEA，∴∠2＋∠3＝∠1＋∠B.∴∠3＝∠B＝40°.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝∠BAD＝2∠2，∴∠2＝25°.∴∠CAE＝∠2＋∠3＝25°＋40°＝65°.
知识点3 三角形内、外角的关系6.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)A.∠A＞∠1＞∠2　　B.∠2＞∠1＞∠AC.∠A＞∠2＞∠1　　D.∠2＞∠A＞∠1
7.如图，已知在△ABC中，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，点D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是(　　)A.∠1＞∠2　　B.∠1＞∠3C.∠3＞∠5　　D.∠4＞∠5
【点拨】根据三角形外角的性质可知∠1＞∠3，∠3＞∠2，∠3＞∠5，∴∠1＞∠2，而∠4与∠5的大小无法判断.
易错点 忽略外角的性质中“不相邻”这一条件8.如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是(　　)A.∠ACB＞∠ACDB.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3C.∠ACB＞∠2＋∠3D.以上都正确