上海市顾村中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市顾村中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共36分，每小题3分）
1. 设全集，集合，集合，则______.
2. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________.
3. 不等式 的解集为______．
4. 已知，化简：______.
5. 函数定义域为__________.
6. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________．
7. 已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______．
8. 已知正数满足，则的最小值为__________.
9. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________．
10. 已知角终边上一点，则___________．
11. 已知，则函数值域为______．
12. 设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________.
二、单选题（本大题共12分，每小题3分）
13. 命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
15. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A. 都能被5整除B. 至多有一个能被5整除
C. 或不能被5整除D. 都不能被5整除
16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ）
A. ①②都是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①②都是真命题
三、解答题
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．
（1）均为正根，求实数m的取值范围；
（2）若满足：，求实数m值．
19. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
20. 已知函数是奇函数，且．
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）求证：函数是‘依赖函数’，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质
（3）当时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值.
2025—2026学年顾村中学第一学期期末考试
高一年级数学学科
一、填空题（本大题共36分，每小题3分）
1. 设全集，集合，集合，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再求出其补集即可.
【详解】由集合，集合可得，
又全集，因此.
故答案为：
2. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式计算可得.
【详解】因为，，设该扇形的弧长为，
则，解得.
故答案为：
3. 不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】把分式不等式化为整式不等式再求解．
【详解】，
故答案：．
4. 已知，化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数幂的运算化简即可；
【详解】原式.
故答案为：.
5. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式、分式有意义的条件、函数定义域的定义即可求解.
【详解】由题意可得且，故函数的定义域为.
故答案为：.
6. 在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，指对互化得，再结合条件得，，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
又若对应的声强为，对应的声强为，
所以，，则，
故答案为：.
7. 已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】分参数是否为零结合一元二次不等式恒成立模型讨论可得.
【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，由一元二次函数性质可得，解得，
综上实数k的取值范围为.
故答案为：.
8. 已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合1的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时，取得最小值.
故答案为：.
9. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】借助函数图像即可求解；
【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到
结合图象可知：，
故答案为：
10. 已知角终边上一点，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可.
【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得：
点到原点的距离：，
因此，，所以，
因为，，
，，
所以
分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得：
原式，
故答案为：.
11. 已知，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域.
【详解】令，解得，
函数大致图像如下：
由图可知，函数，
故答案为：.
12. 设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数解析式作函数图象，由函数图象即可得出结论.
【详解】已知，
在、上递增，在上递减，
且在上值域为，在上值域为，
可得函数图象大致如下，
由图象得时，有三个不同的零点.
故答案为：
二、单选题（本大题共12分，每小题3分）
13. 命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据第二象限角、钝角的概念，结合必要不充分条件的定义分析可得答案.
【详解】当时，满足是第二象限角，但不是钝角；
当钝角时，，则是第二象限角，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
14. 设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】由二分法的定义可知，一个连续函数在区间上满足，则方程在区间上存在近似解.
【详解】因为函数为增函数且在区间内连续，又，
所以方程的近似解在区间.
故选：B
15. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A 都能被5整除B. 至多有一个能被5整除
C. 或不能被5整除D. 都不能被5整除
【答案】D
【解析】
【分析】根据反证法的性质进行判断即可.
【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”
故选：D
16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ）
A. ①②都是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①②都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②.
【详解】对于①，当时，，方程化为，则；
当时，，方程化为，则；
当时，，方程化为，无解，
因此，①是假命题；
对于②，令，则，，
当时，，，
则，；
当时，，，
则，，
因此对任意，，②是真命题，
故选：B
【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、解答题
17. 设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集；
（2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围.
【小问1详解】
已知集合，当时，，即.
等价于，所以集合.
对于集合，这是一个分式不等式.
分式不等式等价于.
解不等式，可得，所以集合.
由前面求出的，，
所以.
【小问2详解】
由集合，解不等式可得，
即，所以集合.
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.
则有（等号不同时成立）.
解第一个不等式，得；解第二个不等式，得.
综上，实数的取值范围是.
18. 已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．
（1）均为正根，求实数m的取值范围；
（2）若满足：，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】结合韦达定理列出式子，即可求；
【小问1详解】
由均为正根，得，
解得，即；
【小问2详解】
由（1）得，解得（舍去）或，
则
19. 某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
【答案】（1）③，理由见解析
（2）万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解．
（2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可.
【小问1详解】
对于模型①，，图象为直线，故①错误，
由图可知，该函数的增长速度由快变慢，
对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误，
对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③，
【小问2详解】
由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，
则，解得，
故所求函数为，
因为总奖金不少于9万元，所以，即，
所以，所以，
所以至少应完成销售利润万元．
20. 已知函数是奇函数，且．
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
【答案】（1），.
（2）在上单调递增，证明见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数和题中条件解得参数的值；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的奇偶性和单调性解得不等式的解集.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，即，解得，
当时，，可知，所以是奇函数.
因为，即，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
在上单调递增.
证明：任取，且，则
，
因为，且在上单调递增，所以，即，
又，故，即，
因此在上单调递增.
【小问3详解】
解不等式，
因为是奇函数，所以，
又在上单调递增，故：，
即，所以，
进而有，解得，
因此不等式的解集为.
21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）求证：函数是‘依赖函数’，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质
（3）当时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值.
【答案】（1）不是，理由见解析（2）证明见解析①函数是单调函数；②函数的值域不包含（3）的最大值为时，
【解析】
【分析】（1）取时，，不存在使成立，故不是“依赖函数”.
（2）对于任意，取，计算，故为“依赖函数”.
（3）化简得到，函数在单调递减，在上单调递增，根据（2）知得到，代入函数得到，解得答案.
【详解】（1）函数不是为“依赖函数”
当时，，不存在使成立，故函数不是“依赖函数”
（2），对于任意，取，则，
故函数为“依赖函数”
性质：①函数是单调函数；②函数的值域不包含.
（3）
根据双勾函数知：函数在单调递减，在上单调递增.
，根据（2）知：依赖函数是单调函数，故
故最大值为，当时：，故
解得或（舍去）
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数知识的灵活运用和理解能力.