2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假” ．
2．若球的表面积为，则该球的半径为 ．
3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ．
4．已知，，，则 ．
5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 ．
6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个．
7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条．
8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是 ．
10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为 ．
11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为 ．
12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：
①存在点，存在点，满足平面；
②任意点，存在点，满足平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足．
其中所有正确结论的序号是 ．
二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13．两条异面直线所成角的范围是（ ）
A．B．C．D．
14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是（ ）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
三、解答题（本大题共5小题，共14+14+16+16+18＝78分）
17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
（1），，，四点共面；
（2）平面平面．
18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．
19．如图，已知正方体．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成的角的大小．
20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
21．（18分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
参考答案
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 假 命题（填“真”或“假” ．
解：若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面，故命题为假命题．
故答案为：假．
2．若球的表面积为，则该球的半径为 ．
解：设球的半径为，
因为球的表面积为，
所以，所以．
故答案为：．
3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 1 ．
解：圆锥的母线长为3，侧面展开图扇形的半径为3，
设该圆锥的底面半径为，
则，解得．
故答案为：1．
4．已知，，，则 或 ．
解：利用等角定理，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
若，，则有或，
又，
所以或．
故答案为：或．
5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 3 ．
解：根据题意，原图直角梯形中，下两底分别为2和4，高为，
其面积，
则其直观图的面积．
故答案为：3．
6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 4 个．
解：因为平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面，
所以几何体中的直角三角形有△，△，△和△，共4个．
故答案为：4．
7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 5 条．
解：连接，
因为六边形为正六边形，所以，
故，所以，，，四点共面，，不是异面直线，同理得到与共面，不是异面直线，而，
又，，与相交，
故12条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，，，，，，
其余面对角线均与异面，分别为，，，，，共5条．
故答案为：5．
8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
解：由题意可知，，
设扇形的半径为，则，
阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为．
故答案为：．
9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是 ．
解：设截面小圆的半径为，球的半径为，
则截面面积为，所以，又球心到该截面的距离为，
所以，所以，
所以该球的体积是．
故答案为：．
10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为或 ．
解：过作平面垂直于，并与交于直线，
作于，于，于，
若、在平面的同侧，如图所示：
则在平面中，，
则，又，，解得．
若、在平面的异侧，如图所示：
则，
又，，解得．
故答案为：或．
11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为 ．
解：令于，于，平面，则，，
由，得，，
又，是平面内的两条相交直线，则平面，
又，，平面，于是，，，
是二面角的平面角，，
则，在△中，
由余弦定理得，
而到的距离是四边形外接圆直径，
所以．
故答案为：．
12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：
①存在点，存在点，满足平面；
②任意点，存在点，满足平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
解：对①，当，分别为，的中点时，
取中点，连接，，
则根据中位线的性质可得，
又平面，平面，
故平面，同理平面，
又，，平面，故平面平面．
又平面，故平面．故①正确．
对②，当在时，平面不成立，故②错误；
对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，1，，，1，，．
设，0，，，则，1，，其中，，，故，
则当时，即．
故对任意的，，存在满足条件，
即任意点，存在点，满足．故③正确；
当，即在点时，若，则，不满足，，即不在上，故④错误．
故答案为：①③．
二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13．两条异面直线所成角的范围是（ ）
A．B．C．D．
解：由异面直线所成角的定义可知：
把异面直线平移到同一点处，它们所成的锐角
或直角就是异面直线所成的角，
故两条异面直线所成角的范围是，
故选：．
14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
解：、是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，“
，”，若，可以与平面斜交，推不出，
若“，，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，
，，
“，”是“”的必要而不充分的条件，
故选：．
15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
解：如图，
由正方体的结构特征可得，又，
则四边形为等腰梯形，知与相交，故正确；
平面平面，且平面，、平面，
与直线，与直线不相交，故、错误；
平面，平面，，平面，
与是异面直线，故错误．
与直线相交的是直线，
故选：．
16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是（ ）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
解：圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为，
将，代入公式可得，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平地上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以，
则平地上积水的厚度，
因为，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：．
三、解答题（本大题共5小题，共14+14+16+16+18＝78分）
17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
（1），，，四点共面；
（2）平面平面．
【解答】证明：（1）、分别为，中点，，
三棱柱中，，
、、、四点共面；
（2）、分别为、中点，
又、分别为三棱柱侧面平行四边形对边、中点，
四边形为平行四边形，
平面中有两条直线、分别与平面中的两条直线、平行
平面平面．
18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．
解：（1）因为圆锥中，为底面的直径，
，分别为母线与的中点，，圆锥的高为，
所以，所以底面圆的半径为，所以母线长为，
所以圆锥的表面积；
（2）证明：如图，连接，，取中点，连接，，，
则易知平行且等于的一半，
又平面，平面，且，
所以根据异面直线的判定定理可得与是异面直线；
由，可得与所成角为或其补角，
因为，所以可得三角形为等边三角形，
所以，，，，
所以，
所以，
所以与所成角为．
19．如图，已知正方体．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成的角的大小．
解：（1）证明：由题意，在正方体中，
，平面，平面，
平面；
（2）证明：平面，平面，
，在正方形中，，
又，且平面，平面，
平面．
（3）设正方体棱长为2，，连接，
由（2）得，平面，
所以，即所求直线与平面所成的角．
在中，，，
则，即，
故所求直线与平面所成的角的大小为．
20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；
（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
解：（1）设正方形，的中心分别为，，连接，
则平面，
分别取，的中点，，连接，，，
则，．
又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以，
由，可得四边形是一个直角梯形，
，又，
所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
因为正四棱台上、下底面的边长分别为和，高．
则，
所以．
所以侧面与底面所成二面角的大小为；
（2）设圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与正四棱台的体积之比为．
21．（18分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
解：（1）圆柱的侧面积
圆柱的体积．
（2）三棱锥的高，底面三角形中，，点到的最大值等于底面圆的半径1，
三棱锥体积的最大值等于．
（3）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上．
，，，，
由余弦定理得：，
的最小值等于．
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨