2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（下）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若角的终边经过点，则 ．
2．已知四边形是边长为1的正方形，则 ．
3．已知扇形的圆心角大小为，半径为1，则扇形的弧长为 ．
4．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若点满足，则点的坐标为 ．
5．在，上满足的的取值范围是 ．
6．已知函数，则函数的最小值为 ．
7．已知，，在上的投影向量的坐标为 ．
8．方程在内的解为 ．
9．若函数的最大值为13，则常数 ．
10．若函数的图像如图所示，则（1）（2）（3） ．
11．定义运算，则函数的值域为 ．
12．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．已知平面向量，为单位向量，．若平面向量满足，则的最大值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）
13．已知，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
14．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A．B．C．D．
15．在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（ ）
A．B．C．D．
16．设函数，其中，，已知在，上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14＝52分，解答下列各题必须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知平面向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求平面向量的坐标．
19．已知△三个内角、、所对的边分别为．
（1）若，求△的面积；
（2）设线段的中点为，若，求△外接圆半径的值．
20．在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．
21．已知函数（其中常数的最小正周期为．
（1）求函数的表达式；
（2）作出函数，，的大致图像，并指出其单调递减区间；
（3）将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，若实数，满足，且的最小值是，求的值．
参考答案
一、填空题
1．若角的终边经过点，则 ．
解：角的终边经过点，
则．
故答案为：．
2．已知四边形是边长为1的正方形，则 ．
解：根据向量加法的三角形法则可得：．
故答案为：．
3．已知扇形的圆心角大小为，半径为1，则扇形的弧长为 ．
解：扇形的圆心角大小为，半径为1，
则．
故答案为：．
4．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若点满足，则点的坐标为 ．
解：设，由点、的坐标分别为、且点满足，
得，，，得，解得，点的坐标为．
故答案为：．
5．在，上满足的的取值范围是 ， ．
解：在同一坐标系内作出，上和的图像，
则在，上满足的的取值范围是，
故答案为：．
6．已知函数，则函数的最小值为 ．
解：由题意函数，
可得在上单调递增，
故当时，函数取得最小值为．
故答案为：．
7．已知，，在上的投影向量的坐标为 ．
解：，，
则，
则在上的投影向量的坐标为：．
故答案为：．
8．方程在内的解为， ．
解：由题意方程的一个解为．
又因为，，
所以或．
故答案为：，．
9．若函数的最大值为13，则常数 ．
解：因为的最大值为13，
则，解得，即．
故答案为：．
10．若函数的图像如图所示，则（1）（2）（3） ．
解：根据函数的图像，可得，
则，
由题意过点，则，
可得，
可得，
取，可得，
所以，
因为，，
则．
故答案为：．
11．定义运算，则函数的值域为 ， ．
解：显然与周期相同，且具有相同的周期区间．
故的周期为，取原点右侧第一个完整周期的区间，，
令，得，或．
故，
易知时，，时，，
故函数的值域为．
故答案为：，．
12．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．已知平面向量，为单位向量，．若平面向量满足，则的最大值是 ．
解：平面向量为单位向量，设平面向量的夹角为，
则，由，得，
又，设，其中，，
则，
当时，
故①，
而
②，
其中为锐角且，故，
当时，此时，而，故，
故①②等号可同时取得；
当时，此时，而，故，
故①②等号可同时取得；
故此时，
当时，
故③，
而
④，
当时，此时，而，故，
故③④等号可同时取得；
当时，此时，而，故，
故③④等号可同时取得；
故此时，
综上，．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）
13．已知，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解：若，则，充分性成立；
若，则或，可知必要性不成立．
综上所述，是的充分不必要条件．
故选：．
14．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A．B．C．D．
解：设与向量共线的一个单位向量为，
则有，解得，
故选项符合题意．
故选：．
15．在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（ ）
A．B．C．D．
解：由在上不具有单调性，故排除．
由于在上是减函数，故排除．
由于的周期等于，且在上是增函数，故满足条件．
由于的周期等于，故不满足条件，故排除．
故选：．
16．设函数，其中，，已知在，上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）
A．B．C．D．
解：设，则，所以在，上有4个零点，
可知，所以，
又，所以，即，满足的只有，
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14＝52分，解答下列各题必须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为．
所以，即，
则．
（2）由题知，．
18．已知平面向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求平面向量的坐标．
解：（1）若，则，
解得．
（2）设．
已知，则，即①．
已知，则，即②．
由①式可得，将代入②式可得：
，解得．
当时，；
当时，；
所以，平面向量的坐标为或．
19．已知△三个内角、、所对的边分别为．
（1）若，求△的面积；
（2）设线段的中点为，若，求△外接圆半径的值．
解：（1）由，，得．
因为，且，
所以，
所以△的面积．
（2）已知的中点为，则．
在△中，，，
由余弦定理，
即，解得．
在△中，由余弦定理，
解得．
由正弦定理，
由（1）知，则，
所以．
20．在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．
解：（1）由题意得，则．
则，
因为是第二象限角，，得：，
得：，解得，
因为是第二象限角，所以．故．
（2）由（1）知，则，
所以．
设旋转后的角为，则，设，
，
，
点的坐标．
21．已知函数（其中常数的最小正周期为．
（1）求函数的表达式；
（2）作出函数，，的大致图像，并指出其单调递减区间；
（3）将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，若实数，满足，且的最小值是，求的值．
解：（1）函数
（其中常数的最小正周期为，．
函数．
（2）作出函数，，的大致图像：
作图：
作图：
结合图像，可得其单调递减区间为，．
（3）将的图像向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
若实数，满足，则与一个等于1，另一个等于，
且的最小值为，即，求得或．
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