2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果a>b>0，那么下列式子中一定成立的是( )
A. 1a>1bB. a2ab
2.利用反证法证明“若a+b<0，则a，b至少有一个小于0”时，假设应为( )
A. a，b都小于0B. a，b都不小于0
C. a，b至少有一个不小于0D. a，b至多有一个小于0
3.已知a>0，b>0，则“2023a+2024b+12023a+12024b=4”是“(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
4.中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义图象能够将圆O(O为坐标原点)的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；
②函数f(x)=ln( x2+1−x)可以是某个圆O的“太极函数”；
③函数f(x)=x23可以同时是无数个圆O的“太极函数”；
④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为y=f(x)的图象是中心对称图形．
其中正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①②④C. ①③D. ①④
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
5.若全集U=N，A={x|x>2,x∈N}，则用列举法表示集合A−= ______ ．
6.2024°角的终边在第______ 象限．
7.在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(1,2)，则tanθ= ______ ．
8.已知lg2=a，lg3=b，则lg18= ______ ．
9.若x∈R，|x+1|+|x−3|的最小值是______．
10.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=x−4lg2x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，第一次计算f(1)、f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2=______．
11.已知函数f(x)=(m2−5m+7)xm(x≠0)是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m= ______ ．
12.不等式(a−2)x2+4(a−2)x−12<0的解集为R，则实数a的取值范围是______ ．
13.若f(x)=a8−x,x≤7(2−a)x−8,x>7在(−∞,∞)上是严格增函数，则实数a的取值范围是______ ．
14.给机器人输入一个指令(m,2m+48)(其中常数m>0)后，该机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走m个单位距离，接着原地逆时针旋转90°后再面向y轴正方向行走2m+48个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足x≤6y∈R，若开始时机器人在函数f(x)=2x图象上的点P处面向x轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数y=f(x)图象上，则m= ______ ．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
设全集为R，集合A={x|x−3x+2<0}，集合B={x||x−a|<2}．
(1)若a=2，求集合A∩B；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
16.(本小题6分)
(1)已知关于x的不等式ax2−5x+b<0的解集是{x|2(2)解关于x的不等式(x−c)(x−6)>0(c∈R)．
17.(本小题10分)
在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h(x)万元，已知h(x)=ax2+49x,x∈(0,50]51x+136352x+1−860,x∈(50,100].通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
(1)求a的值；
(2)求年利润y的最大值(精确到0.1万元)，并求此时的年产量(精确到0.1吨)．
18.(本小题12分)
已知奇函数f(x)=a⋅2x−12x+1的定义域为[−a−2,b]
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题14分)
若函数f(x)的定义域为R，且对∀x1，x2∈R，都有f(x1+x2)≤f(x1)⋅f(x2)，则称f(x)为“J形函数”
(1)当f(x)=x+1时，判断f(x)是否为“J形函数”，并说明理由；
(2)当f(x)=x2+2时，证明：f(x)是“J形函数”；
(3)如果函数f(x)= 2x+a为“J形函数”，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由a>b>0可得1a<1b，A错误；
由a>b>0可得a2>b2，B错误；
由a>b>0可得ab>1，C错误；
由a>b>可得a2>ab，D正确．
故选：D．
结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：利用反证法证明，应先假设结论不成立，即假设a，b都不小于0．
故选：B．
由反证法的定义即可选出答案．
本题主要考查反证法的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为2023a+12023a≥2 2023a⋅12023a=2，当且仅当a=12023时取等号，
2024b+12024b≥2 2024b⋅12024b=2，当且仅当b=12024时取等号，
所以2023a+2024b+12023a+12024b=4时，必有a=12023，b=12024，
所以(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4成立，
所以由2023a+2024b+12023a+12024b=4，可推出(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4，
因为(2023a+2024b)(12023a+12024b)=2+2023a2024b+2024b2023a
≥2+2 2023a2024b⋅2024b2023a=4，
当且仅当2023a2024b=2024b2023a，即2023a=2024b时取等号，
所以当(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4时，必有2023a=2024b成立，
此时a=12023，b=12024不一定成立，
所以由(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4推不出2023a+2024b+12023a+12024b=4，
所以“2023a+2024b+12023a+12024b=4”是“(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4”的充分非必要条件．
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题．
4.【答案】A
【解析】解：①中，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，
所以对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，①正确．
②， x2+1> x2=|x|≥x，所以f(x)=ln( x2+1−x)的定义域为R，f(−x)=ln( x2+1+x)=ln( x2+1+x)( x2+1−x) x2+1−x=ln1 x2+1−x=−ln( x2+1−x)=−f(x)，所以f(x)是定义在R上的奇函数，
图象关于原点对称，f(x)=ln( x2+1−x)=ln( x2+1−x)( x2+1+x) x2+1+x=ln1 x2+1+x，
所以f(x)=ln( x2+1−x)在R上递减，
f(x)=ln( x2+1−x)是太极函数，②正确．
③，函数f(x)=x23=3x2，f(x)的定义域为R，f(−x)=3(−x)2=3x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，
所以函数f(x)=3x2不是某个圆的太极函数．
④，y=1x是奇函数，图象关于原点对称，但y=1x不是太极函数，
所以④错误．
所以正确的为①②．
故选：A．
根据“太极函数”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查太极函数的对称性的应用，属于中档题．
5.【答案】{0,1,2}
【解析】解：因为A={x|x>2,x∈N}，
所以A−={x|x≤2,x∈N}，
所以A−={0,1,2}，
故答案为：{0,1,2}．
先用描述法求出A−，进而采用列举法求出A−．
本题考查补集的计算，属于基础题．
6.【答案】三
【解析】解：因为2024°=5×360°+224°，
因为224°为第三象限角，
故2024°角的终边在第三象限角．
故答案为：三．
结合终边相同角的表示及象限角的定义即可判断．
本题主要考查了终边相同角的表示及象限角的判断，属于基础题．
7.【答案】2.
【解析】解：依题意，tanθ=21=2．
故答案为：2．
根据三角函数的定义求得正确答案．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
8.【答案】a+2b
【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，
∴lg18=lg(2×9)=lg2+lg9=lg2+2lg3=a+2b．
故答案为：a+2b．
把18分解为2×9，然后直接利用对数的运算性质展开，代入lg2=a，lg3=b得答案．
本题考查了对数的运算性质，是基础的会考题型．
9.【答案】4
【解析】解：∵|x+1|+|x−3|≥|(x+1)−(x−3)|=|4|=4，
当且仅当(x+1)⋅(x−3)≤0，即−1≤x≤3时，等号成立，∴|x+1|+|x−3|的最小值为4．
故答案为：4
直接根据绝对值不等式求解|x+1|+|x−3|的最小值即可．
本题主要考查了绝对值的几何意义的应用，属于基础题．
10.【答案】32
【解析】解：二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值，
第一次计算f(1)、f(3)的值，
f(x)=x−4lg2x，则f(1)=1>0，f(3)=3−4lg23<0，
故零点所在区间为(1,3)，
第二次计算f(2)的值，
f(2)=2−4lg22=−2<0，
故零点所在区间为(1,2)，
所以第三次计算f(32)的值，即x2=32．
故答案为：32．
根据二分法的定义，求解即可．
本题考查二分法的定义，属于基础题．
11.【答案】3
【解析】解：∵函数f(x)=(m2−5m+7)xm(x≠0)是幂函数，
其图像分布在第一、三象限，
∴m2−5m+7=1且m>0、m为奇数，
则m=3，
故答案为：3．
由题意可得，m2−5m+7=1且m>0、m为奇数，由此求得m的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
12.【答案】(−1,2]
【解析】解：当a=2时，原不等式为−12<0满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得a−2<0[4(a−2)]2−4(a−2)×(−12)<0，解得−1综上，a的取值范围是(−1,2]．
故答案为：(−1,2]．
讨论a的取值情况，列出相应的不等式(组)，即可求得答案．
本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
13.【答案】(0,34]
【解析】解：根据题意，若f(x)=a8−x,x≤7(2−a)x−8,x>7在(−∞,∞)上是严格增函数，
则有00a8−7≥(2−a)×7−8，解可得0故答案为：(0,34].
根据题意，由函数单调性的定义可得00a8−7≥(2−a)×7−8，解可得答案．
本题考查函数的单调性，涉及分段函数的性质，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意设P(x0,2x0)，则一次操作后该机器人落点为Q(x0+m,2x0+2m+48)，
即Q(x0+m,2x0+m)在安全区域内，所以x0+m≤6且2x0+2m+48=2x0+m，
由x0+m≤6，可知2x0≤26−m，
所以2x0(2m−1)=2m+48≤26−m(2m−1)，即2m+26−m=2m+642m≤26−48=16能成立，
又因为2m+642m≥2 2m⋅642m=16，且等号当且仅当2m=642m，即m=3时成立，
综上，m=3．
故答案为：3
首先设点P(x0,2x0)，再根据题意可得点Q(x0+m,2x0+2m+48)，再根据题意可知，点Q在安全活动区域，以及点Q也在函数y=f(x)的图象上，x0+m≤6且2x0+2m+48=2x0+m，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解．
本题考查指数函数和基本不等式在研究实际问题上的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由x−3x+2<0，解得−2所以A={x|−2又因为a=2，所以|x−2|<2，所以0所以B={x|0所以A∩B={x|0(2)因为|x−a|<2，所以a−2又因为B⊆A，且a+2>a−2即B≠⌀，
所以a−2≥−2a+2≤3，所以0≤a≤1，
所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
【解析】(1)由已知求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为不等式ax2−5x+b<0的解集是{x|2所以2和3是方程ax2−5x+b=0的两个根，
由根与系数的关系知，2+3=5a2×3=ba，
解得a=1，b=6；
(2)因为不等式(x−c)(x−6)>0对应方程的根为6和c，
当c=6时，不等式化为(x−6)2>0，解得x≠6；
当c<6时，解不等式(x−c)(x−6)>0，得x6；
当c>6时，解不等式(x−c)(x−6)>0，得x<6或x>c；
综上，c=6时，不等式的解集为{x|x≠6}；
c<6时，不等式的解集为{x|x6}；
c>6时，不等式的解集为{x|x<6或x>c}．
【解析】(1)根据不等式的解集得出对应方程的根，由根与系数的关系求出a、b的值；
(2)写出不等式对应方程的根，讨论6与c的大小，即可写出不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
17.【答案】解：(1)当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，
利润为50×40−(1600a+49×40+250)=190，解得a=−14；
(2)当x∈(0,50]时，y=50x−(−14x2+49x+250)=14x2+x−250，
∵对称轴方程为x=−2<0，则函数在(0,50]上为增函数，
∴当x=50时，ymax=425万元；
当x∈(50,100]时，y=50x−(51x+136352x+1−860+250)=610−(x+136352x+1)
=610.5−(2x+12+136352x+1)≤610.5−2 136352≈445.4．
当且仅当2x+12=136352x+1，即x= 13635×2−12≈82.1时取等号．
即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．
【解析】(1)直接由基地产出该中药材40吨时的利润列式求解a值；
(2)分段写出年利润函数，然后分别利用函数的单调性与基本不等式求最值，取最大值中的最大值得答案．
本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用函数的单调性与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=a⋅2x−12x+1是奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，即a⋅2−x−12−x+1=−a⋅2x−12x+1，
即a−2x2x+1=−a⋅2x+12x+1，即a−2x=−a⋅2x+1，
整理得(a−1)(2x+1)=0，
所以a−1=0，即a=1，则−a−2=−3，
因为定义域为[−a−2,b]关于原点对称，所以b=3；
(2)f(x)=2x−12x+1在[−3,3]上递增．
证明：任取x1，x2∈[−3,3]，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为−3≤x1所以2x1−2x2<0，又2x1+1>0,2x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)=2x−12x+1在[−3,3]上递增；
(3)因为x∈[1,2]，
所以f(x)=2x−12x+1>0，
又当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，
所以−m<(2x+2)(2x+1)2x−1，x∈[1,2]时恒成立，
令t=2x−1，则−m<(t+3)(t+2)t=t2+5t+6t=t+6t+5，t∈[1,3]时恒成立，
而t+6t+5≥2 t⋅6t+5=2 6+5，当且仅当t=6t，即t= 6时，等号成立，
所以m>−2 6−5，即m的取值范围是(−2 6−5,+∞)．
【解析】(1)根据函数f(x)=a⋅2x−12x+1是奇函数，由f(−x)=−f(x)求得a，再根据定义域关于原点对称求解b；
(2)利用函数单调性定义证明；
(3)由x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0恒成立，令t=2x−1，转化为−m本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)不是“J形函数”，理由如下：
当f(x)=x+1时，有f(x1)=x1+1，f(x2)=x2+1，f(x1+x2)=x1+x2+1，
则f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)=x1+x2+1−(x1+1)(x2+1)=−x1x2．
∵x1，x2∈R，∴−x1x2与0的关系不确定，
不能得出f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)≤0，∴f(x)不是“J形函数”．
(2)证明：当f(x)=x2+2时，有f(x1)=x12+2，f(x2)=x22+2，f(x1+x2)=(x1+x2)2+2=x12+x22+2x1x2+2，
则f(x1)⋅f(x2)=(x12+2)(x22+2)=x12x22+2x12+2x22+4，
∴f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)=−(x1−x2)2−x12x22−2，
显然有f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)≤−2≤0对∀x1，x2∈R恒成立，
∴有f(x1+x2)≤f(x1)⋅f(x2)对∀x1，x2∈R恒成立，
∴f(x)是“J形函数”．
(3)解：由已知可得f(x1)= 2x1+a，f(x2)= 2x2+a，f(x1+x2)= 2x1+x2+a，
∴f(x1)⋅f(x2)= 2x1+x2+a(2x1+2x2)+a2．
∵函数f(x)= 2x+a为“J形函数”，
∴有 2x1+x2+a≤ 2x1+x2+a(2x1+2x2)+a2，
即0≤2x1+x2+a≤2x1+x2+a(2x1+2x2)+a2．
由2x1+x2+a≥0，得a≥0；
由2x1+x2+a≤2x1+x2+a(2x1+2x2)+a2，可知a≤a(2x1+2x2)+a2．
当a=0时，该式恒成立，满足；
当a>0时，有a≥1−(2xi+2x2)恒成立．
∵2x1+2x2>0，∴a≥1．
综上可得，a≥1或a=0．
【解析】(1)作差可得f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)=−x1x2，根据x1，x2的任意性，无法判断该式符号，即可说明；
(2)作差可得f(x1+x2)−f(x1)⋅f(x2)=−(x1−x2)2−x12x22−2，即可证明得出结论；
(3)代入化简可得f(x1+x2)= 2x1+x2+a,f(x1+x2)= 2x1+x2+a(2x1+2x2)+a2.由“J形函数”的概念整理化简可得，a≥1−(2x1+2x2)，进而即可得出实数a的取值范围．
本题主要考查抽象函数的应用，属于中档题．

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