25.2降次—解一元二次方程（5知识点+25大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年九年级数学上册讲义（人教版）含答案

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2.理解根的判别式与方程根的情况之间的关系，能够利用判别式判断方程根的性质并进行相关的参数求解。
洞悉◆教材知识
知识点1：直接配平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
方程x2＝p的解的情况：
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
知识点3：公式法
1.求根公式的推导：
一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．
对上面这个方程进行讨论：因为，所以
当时，
利用开平方法，得：，即：
当时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．
2.一元二次方程（）的求根公式
一元二次方程（），当时，有两个实数根：
，
知识点4：公根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：
我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．
2.一元二次方程，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
知识点5：因式分解
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
【题型1】用直接开方法解方程
1．用直接开方法解方程．
（1） （2）
（3） （4）．
2．用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【题型2】直接开平方法的应用
3．关于的方程，下列说法正确的是
A．有两个解B．当 时，有两个解
C．当时，有两个解D．当时，方程无实根
4．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是
A．1，4B．1，C．2，D．3，0
【题型3】 配方
5．将一元二次方程配方后可化为
A．B．C．D．
6．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是
A．B．C．D．
【题型4】 配方法解方程
7．解方程：．
8．利用配方法解方程：．
【题型5】用配方的非负性求代数式的值
9．已知，求的值为
A．3B．6C．9D．27
10．已知，，满足，，，则的值为
A．B．5C．6D．
【题型6】 用配方法求代数式的最值
11．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
（1）当 时，有最小值是 ；
（2）多项式有最 （填“大”或“小” 值，该值为 ；
（3）已知，求的最小值．
12．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值．
同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以，
所以有最小值，最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）知识再现：求代数式的最小值；
（2）知识运用：代数式有最 （填“大”或“小” 值，这个最值是 ；
（3）知识拓展：若，求的立方根．
【题型7】 用配方法求三角形的周长
13．已知，，为△的三条边．
（1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长．
（2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长．
14．阅读材料：若，求，的值．
解：，
，
．
，．
．
阅读上面的材料，解决以下两个问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长．
【题型8】 用配方法判断三角形的形状
15．已知，，为三边长．
（1）求证：．
（2）当，试判断的形状．
【题型9】 用配方法求特殊方程的解
16．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解．
17．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【题型10】一元二次方程的求根公式
18．以为根的一元二次方程可能是
A．B．C．D．
19．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是
A．B．C．D．
【题型11】公式法解一元二次方程
20．用公式法解下列方程：
（1）； （2）； （3） ．
21．用公式法解下列方程．
（1）； （2）； （3）．
【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况
22．关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
23．一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
【题型13】已知解的情况求字母的值
24．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是
A．B．C．D．
25．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为 ．
【题型14】根的判别式的综合应用
26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
27．已知关于的一元二次方程有实根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大整数时，求该方程的两个根．
【题型15】根的判别式与三角形问题
28．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长．
（1）若该△是等边三角形，求该方程的根；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由．
29．已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【题型16】 利用乘积为零解方程
30．方程的解是
A．B．，C．，D．无实数根
31．方程的解是
A．B．C．，D．，
【题型17】 利用提公因式法解方程
32．一元二次方程的解是
A．B．C．，D．，
33．一元二次方程的根是
A．B．，C．，D．．
【题型18 】 利用因式分解法解方程
34．用因式分解法解方程：
（1）； （2）．
35．运用平方差解方程：．
【题型19】用合适的方法解方程
36．用适当的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）．
37．用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题
38．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以得，
第一步，
第二步，
第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
39．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程．
【题型21】因式分解法进行求值
40．已知是实数，且满足，则的值为
A．3B．3或C．或6D．6
41．已知，，则的值为 ．
【题型22】因式分解法的应用
42．已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为
A．48B．24C．24或D．48或
43．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是
A．24或B．24C．D．或24
【题型23】新定义问题
44．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是
A．B．4C．或4D．1或
45．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 ．
【题型24】含绝对值的一元二次方程
30．先阅读例题，再解答问题．
例：解方程．
解：当时，，
解得（不合题意，舍去），；
当时，，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或．
依照上述解法解方程：．
【题型25】利用十字相乘法解方程
31．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即
所以．
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．
依照上面的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
32．用十字相乘法解方程：
（1）；（2）．
针对训练
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C．， D．
2．方程的解为（ ）
A． B． C． ，D．，
3．用配方法解方程，配方后可得（ ）
A．B．C．D．
4．方程的解为（ ）
A．B．C．，D．，
5．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
6．方程的解是__________．
7．若是一元二次方程的两个实数根，则________
8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
9．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣3）＝0，则a2+b2的值等于______．
三、解答题
10．用适当的方法解下列方程:
(1)； (2)；
11．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，满足，求的值．
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)设、是方程的两根，且，求的值．【题型1】用直接开方法解方程
【题型2】直接开平方法的应用
【题型3】 配方
【题型4】 配方法解方程
【题型5】用配方的非负性求代数式的值
【题型6】 用配方法求代数式的最值
【题型7】 用配方法求三角形的周长
【题型8】 用配方法判断三角形的形状
【题型9】 用配方法求特殊方程的解
【题型10】一元二次方程的求根公式
【题型11】公式法解一元二次方程
【题型12】不解方程判断一元二次方程的根的情况
【题型13】已知解的情况求字母的值
【题型14】根的判别式的综合应用
【题型15】根的判别式与三角形问题
【题型16】 利用乘积为零解方程
【题型17】 利用提公因式法解方程
【题型18 】 利用因式分解法解方程
【题型19】用合适的方法解方程
【题型20 】用因式分解法解方程的过程出错问题
【题型21】因式分解法进行求值
【题型22】因式分解法的应用
【题型23】新定义问题
【题型24】含绝对值的一元二次方程
【题型25】利用十字相乘法解方程
针对训练
小李：
解：两边同除以，得
，
则．
小王：
解：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．