专题21.5 一元二次方程解法-配方法（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.5  一元二次方程解法-配方法（知识讲解）

【学习目标】

1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法---配方法
配方法解一元二次方程：
   (1)配方法解一元二次方程：
     将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解          一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则        判定此方程无实数解.
  特别说明：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
知识点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

特别说明：

    “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
　【典型例题】

类型一、用配方法解一元二次方程

1. 用配方法解方程：．

【答案】，

【分析】通过移项配方解一元二次方程即可．

 解：

，

解得，．

【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程；掌握好配方法解一元二次方程的步骤是关键．

举一反三：
【变式】 解方程：（1）； （2）．

【答案】(1)，；(2)，；

【分析】（1）直接开方即可求解；  （2）用配方法解一元二次方程即可．

 解：(1)  

，

，

，；

(2) ，

，

，

，，

，．

【点拨】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用相应的方法解方程．

类型二、配方法在代数中的应用

2．试确定当x取何值时，2x2+4x+1有最小值？最小值是多少？

【答案】x=-1时有最小值，最小值为-1．

【分析】由题意先应用完全平方公式对2x2+4x+1配方后，进而根据偶次方的非负性质进行分析即可．

解：2x2+4x+1=，

∵，

∴，

则有x=-1时有最小值，最小值为-1．

【点拨】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的步骤以及偶次方的非负性质的应用是解题的关键．

 3．用配方法说明代数式的值总大于的值．

【分析】直接两式做减法，得到，配方之后得到，利用非负数性质这个值永远都大于2，所以得证

解：

所以代数式的值总大于的值．

【点拨】本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤和非负数的性质是解题关键

举一反三：

 【变式】不论取什么实数，的值一定是一个正数，你能说明理由吗？

   【分析】先配方，然后利用非负数的性质解答即可.

解：，

∵，

∴．

故不论取什么实数，的值一定是一个正数．

【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．

4．如果x2﹣10x+y2﹣12y+61＝0，求的值．

【答案】

【分析】先把原方程化为完全平方公式的形式，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入进行计算．

解：∵x2﹣10x+y2﹣12y+61＝（x﹣5）2+（y﹣6）2＝0，

∴x＝5，y＝6，

∴＝．

【点拨】本题考查了配方法的应用，灵活的利用完全平方公式对方程进行配方是解题的关键.

举一反三：

 【变式】已知实数x,y满足，则的值是多少？

【答案】1

【分析】先根据配方法得到， 再根据几个非负数和的性质得到，，然后求出和后代入中计算即可，

解：由题意思，可得：

故答案为1.

【点拨】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式,也考查了非负数的性质．