25.2降次——解一元二次方程暑假预习练 人教版数学九年级上册

这是一份25.2降次——解一元二次方程暑假预习练 人教版数学九年级上册，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
2．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( )
A．有两个正根B．有一个正根一个负根
C．有两个负根D．没有实根
4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．B．3C．6D．9
5．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．若，则的值为（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
7．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．关于x的方程a (x+m)2+bx-c=0的根是x1=-2， x2=1 (a、m、b、c均为常数，a≠0)，则方程a (x+m-1) 2+b (x-1) =c的根是( )
A．x1=-1， x2=2B．x1=-2， x2=1C．x1=2， x2=1D．x1=-2， x2=-1
9．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根
C．有一个实根D．没有实根
10．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
11．已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（ ）
A．B．C．D．
12．不解方程，请你判断一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
二、填空题
13．对二次三项式因式分解：___________．
14．关于y的方程的解是 ______________．
15．在实数范围内分解因式：___________．
16．方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为______．
17．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________．
三、解答题
18．解方程：
19．求x的值：．
20．如图，在中，．

(1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值．
21．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4月准备适当降价．据测算每袋降价1元，销售量可增加20袋．
(1)每袋降价5元时，4月共获利多少元？
(2)当农产品每袋降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元？
22．求证：不论k取何实数，方程都没有实根．
23．解方程：
(1)x2–4x + 3＝0；
(2)x（x – 1）＝2（x – 1）
《25.2降次——解一元二次方程》参考答案
1．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
2．C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
3．B
【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可．
【详解】解：∵当时，随增大而减小，
∴ab>0．
∵，
∴方程有两个不相等的根．
∵，
∴方程有一个正根一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab>0．
4．B
【分析】设直角三角形的两条直角边分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据完全平方公式变形求出，即可得出斜边长．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，，则，，
∴，
∴直角三角形的斜边长为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，解题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出两条直角边的平方和．
5．A
【分析】根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，，
即的两个根分别是，，
则，，
解得，
故，，
故，
解得
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
则
把，代入上式，得
故选：A
7．B
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程的两根，
则，
所以三角形的面积为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程如果方程的两根为，则．
8．A
【分析】利用整体的方法把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于x-1的一元二次方程，则利用关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1，于是得到x-1=-2或x-1=1，然后分别解两个一次方程即可．
【详解】解：把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于2x-1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1，
所以x-1=-2或x-1=1，
所以x1=-1，x2=2．
所以方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c的根为x1=-1，x2=2．
故选A．
【点睛】此题考查了特殊方法解一元二次方程，正确理解两个方程的关系是解题的关键．
9．A
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【详解】解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键．
10．D
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”
∴第二个方程可以写成的形式，
∴展开得：
∴，，，
解得：，，
∴，
∵
∴
∴能取的最大值是2026．
故选D．
11．A
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式．
根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程的两个根为．
∴原方程为：．
∴二次三项式可分解为．
故选：A．
12．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．求出判别式的值，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
13．
【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．
令，用公式法解方程得，，得到，即可得到答案．
【详解】解：令，
，
，
，
解得，，
．
故答案为： ．
14．，，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键．
根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
或，
解得，．
故答案为：，．
15．
【分析】由时，解得，根据求根公式的分解方法和特点即可得到答案．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解．
16．或
【分析】此题主要考查一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用．通过解一元二次方程求出直角三角形的两边的长，然后分两种情况计算是解题关键．
【详解】解：解方程得，，
当为斜边时，斜边长为，
当为直角边时，斜边长为，
故答案为：或．
17．
且
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意知，，
又∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且．
18．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键．
直接运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或．
所以该方程组的解为：或．
19．或
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，
方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；
【详解】解：
或，
解得或．
20．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）以为圆心，为半径作圆交于点，作的平分线，再以为圆心，为半径作圆交于点，连接，则四边形就是所作的菱形；
（2）先证明，设菱形的边长为，，在和中，利用正弦函数的定义求得，得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：四边形就是所作的菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设菱形的边长为，，则，
在中，，
∴，则，
在中，，
整理得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，正弦函数的定义，菱形的性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．(1)4月共获利2700元
(2)当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元
【分析】（1）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出答案；
（2）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出方程得出答案．
【详解】（1）解：当每袋降价5元时，
由题意可得：（30−16−5）×（200＋20×5）＝2700（元），
答：每袋降价5元时，4月共获利2700元；
（2）解：设当农产品每袋降价x元时，根据题意可得：
（200＋20x）（30−16−x）＝2860，
整理得：x2−4x＋3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1（根据尽可能让利于顾客，舍去），
答：当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握销量×每袋的利润＝总利润是解题关键．
22．见解析
【分析】先根据得到即可得到方程是一元二次方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程是一元二次方程，
∴
，
∵，
∴，
∴，即恒成立，
∴方程都没有实根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．(1)x1=1，x2=3；
(2)x1=1，x2= 2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得x（x – 1）-2（x – 1）=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）x2–4x + 3＝0
解：（x-1）（x-3）=0，
x-1=0或x-3=0，
所以x1=1，x2=3；
（2）x（x – 1）=2（x – 1）
解：x（x – 1）-2（x – 1）=0，
（x-1）（x-2）=0，
x-1=0或x-2=0，
所以x1=1，x2=2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
A
A
B
A
A
D
题号
11
12








答案
A
B