第二十五章《一元二次方程》2026—2027年人教版八年级数学上册暑假单元自测卷含答案

这是一份第二十五章《一元二次方程》2026—2027年人教版八年级数学上册暑假单元自测卷含答案，共10页。试卷主要包含了本次考试是数学，60分钟完成，考试范围等内容，欢迎下载使用。
1.本次考试是数学，60分钟完成。数学满分100分。
2.考试范围：九年级数学第二十五章
第一部分 选择题(共30分)
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2、B．2、3C．1、D．、3
【答案】D
【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、．
2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，，B．3，，1C．3，2，1D．3，2，
【答案】D
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【详解】解：将原方程移项整理为一般形式，
移项可得，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
3．若，是方程的两个根，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴．
4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．2B．8C．4D．16
【答案】C
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
解得．
5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：原方程为，
移项得，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，
由完全平方公式整理得．
6．已知方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2B．1C．3D．−3
【答案】B
【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果．
【详解】∵ 是方程的一个根，
∴ 将代入原方程得，
，
整理得 ，即 ，
解得 ．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意；
C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意；
D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意．
8．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程．
【详解】解：∵设每件商品降价元，
∴降价后每枚徽章的盈利为元，
∵每降价元平均每天可多售出枚，
∴降价元后，每天的销售量为枚，
又∵平均日盈利为元，
∴可列方程为．
9．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可．
【详解】解：一元二次方程有解，
判别式，
其中，，代入得，
，
对任意实数，都有，
，结合，得，
解得，
将代入原方程，得，
整理为，
解得，
所以该方程的解是和．
10．若实数，满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果.
【详解】解：∵ ，且，，
∴ 是方程的两个不相等的实数根，
∴ ， 对比系数得 ，
又∵ ，
∴ ，
则，
把代入得 ，
∴ ，.
第二部分 非选择题 (共70分)
二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分)
11．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______．
【答案】
【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可．
【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为．
根据题意，得 ． 整理，得 ．
解得 ．
当 时，，不合题意，舍去．
所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1．
12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________．
【答案】
【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件，
因此每天的销售量为件，
已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________．
【答案】
【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
14．已知，是方程的两个根，则_______．
【答案】12
【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：因为，是方程的两个根，
将代入方程得，
整理得 ．
将代入方程得 ，整理得．
将，代入所求代数式
得：
．
三、解答题（共58分）
15．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：移项得，
提取公因式得：，
∴，
即，，
解得：，．
（2）解：对于方程，其中，，，
∴判别式，
∴，
，．
16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒少 ．
(2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程）
①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示）
②求值．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可.
（2）①利用列代数式即可；
②利用建立一元二次方程求解即可.
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即，
故小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：①这段时间内小球的平均速度；
②由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴不符合题意，
∴.
17．（1）解方程① ②
（2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．
【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支
【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用；
（1）①用因式分解法求解即可；
②利用公式法求解方程即可；
（2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有个，根据“主干、支干和小分支的总数是91”即可列方程，再解方程即可求解．
【详解】解：（1）①，
，
，
或
解得，；
②，
，，，，
∴
∴，；
（2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个，
由题意得：，
整理得，
解得，（舍去），
即每个枝干长出9个小分支．
18．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱．
(1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率．
(2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)售价应降低20元
【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案；
（2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案．
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意，可得，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
答：月平均增长率为；
（2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件），
根据题意，可得，
整理可得，
解得，，
要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元，
答：售价应降低20元．
20．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率．
【答案】
【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解．
【详解】解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得，（舍去），
∴．
答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
21．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题：
(1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________；
(2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决）
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案．
（2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大，
∴中间的数可用表示为，
最大的数可用表示为；
（2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：，
，
解得或（舍去），
最小数为，最大数为，
个数为，
其和为．
22．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；
(3)能否围成面积为的花圃？请说明理由．
【答案】(1)米
(2)花圃的长为9米，宽为5米
(3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下：
当花圃的面积刚好为时，
，
化简得：，
∴，
∴该方程没有实数解，
∴不能围成面积为的花圃．
【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米；
（2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵宽米，
∴长（米）；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
当时，长，不合题意，舍去；
当时，长，符合题意；
答：花圃的长为9米，宽为5米．
（3）略
23．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．
(1)已知关于的方程是理想方程，求的值；
(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；
(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当或时，方程是理想方程
(3)的取值范围是或
【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可；
（2）根据理想方程的定义求解即可；
（3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵是理想方程，
∴是方程的解，
∴，
解得或；
（2）解：∵方程是理想方程，
∴，
∴或，
即当或时，方程是理想方程；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
由理想方程的定义知是方程的解，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
，
这个不等式对于所有非0实数a都成立，
由根与系数关系得（其中），
又由理想方程定义知有一根为，
不妨设，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
综上所述，的取值范围是或．
24．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，的面积等于？
②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？
【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于；
(2)当为秒或秒，的面积等于．
【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可；
②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断；
（2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，，
又，
∴，
根据题意，得，
解得，．
∴经过2秒或4秒后，的面积等于；
②设运动时间为x秒，的面积等于，
根据题意，得，
整理得，
∴，
∴方程无解，
∴的面积不能等于；
（2）解：设运动的时间为t秒，
①当时，，
由题意，得，
解得：，；
②当时，，
由题意，得，
解得：，（舍去），
综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．