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一元二次方程（13个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）（解析+原卷）
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专题01 一元二次方程（13个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）2＝x+1 C．x2＝x2+1 D．x+2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可．
【解答】解：A．当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B．（x+1）2＝x+1是一元二次方程，故B符合题意；
C．由原方程得到0＝1，不成立，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．x+2＝0未知数最高次数是1，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2022春•南岗区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项：该方程是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B选项：该方程中含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C选项：该方程是分式方程，不符合题意；
D选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
3．（2021秋•房县期末）下列方程，是一元二次方程一般形式的是（ ）
A．2x2﹣3x＝0 B．x2＝1 C．2x2﹣3x＝﹣1 D．2x2＝﹣3x
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：A．2x2﹣3x＝0，符合一般形式，故本选项符合题意；
B．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
C．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
D．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
4．（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
5．（2021秋•甘井子区期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣1
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：5x2+1＝4x可化为5x2﹣4x+1＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，﹣4，1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解（共3小题）
6．（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入原方程，得
1﹣2m+m＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
7．（2021秋•雁江区期末）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1
【分析】先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m＝1或m＝﹣1，
因为m﹣1≠0，
所以m的值为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2021秋•泰州期中）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，
所以m2﹣m＝3，
所以2022﹣m2+m＝2022﹣（m2﹣m）＝2022﹣3＝2019．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
9．（2021秋•川汇区期中）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
∴方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
即这个方程的另一个根为x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解关于c的方程．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
11．（2022春•拱墅区期中）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（2021秋•重庆期末）一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣3＝0，
x2+6x＝3，
x2+6x+9＝3+9，
（x+3）2＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
13．（2021秋•晋安区校级期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；
B．此方程的解为x＝，不符合题意；
C．此方程的解为x＝，符合题意；
D．此方程的解为x＝，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2021秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（ ）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【解答】解：A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x+1＝0，
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、A、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，根据题意令y1+y2＝0，然后进行计算是解题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
15．（2021秋•西青区期末）下列各数是方程x2+3x﹣10＝0的根的是（ ）
A．2和5 B．﹣5和3 C．5和3 D．﹣5和2
【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断．
【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，
所以x﹣2＝0或x+5＝0，
解得：x＝2或x＝﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2022春•南岗区校级期中）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0．
（2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）方程左边分解因式后，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得：x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+5）＝0，
可得：3x﹣2＝0或x+5＝0，
∴x1＝，x2＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
17．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到x2+2x的值．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把x2+2x看成一个整体来计算，即换元法思想．
18．（2022春•宁海县期中）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为 3 ．
【分析】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2＝y，利用换元法得到新方程y2﹣y﹣6＝0，求解即可．
【解答】解：设a2+b2＝y，
据题意得y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝3，y2＝﹣2，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，以及学生的综合应用能力，解题时要注意换元法的应用，还要注意a2+b2的取值是非负数．
九．根的判别式（共2小题）
19．（2021秋•碑林区校级期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．x2+2x＝0 D．2x2﹣x﹣1＝0
【分析】分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0中，Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B．方程x2﹣x+2＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C．方程x2+2x＝0中，Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D．方程2x2﹣x﹣1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
20．（2021秋•两江新区期末）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】y＝ax2+bx+c（a≠0）的Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根，题中b＝﹣1．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴一元二次方程x2﹣x+1＝0没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2021秋•天门期中）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2021的值是（ ）
A．2025 B．2021 C．2020 D．2024
【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2021＝﹣（a+b）+2024即可求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2021
＝﹣a+3﹣b+2021
＝﹣（a+b）+2024
＝1+2024
＝2025．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
22．（2021秋•密山市校级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝﹣5．
∴＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
23．（2021秋•陵水县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【分析】利用根与系数的关系求出两根之积即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，
∴x1•x2＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
24．（2021秋•雁塔区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000
B．7500×2（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000
D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的快递业务量×（1+增长率）2＝2021年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：7500（1+x）2＝9000．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
25．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC＝（20+1﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝xm，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依题意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形．
依题意得：（30﹣2x）（25﹣x）＝650．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820
B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
【解答】解：∵三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为500（1+x），五月份为500（1+x）2人，
∴方程为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．
一十二．一元二次方程的应用（共10小题）
28．（2021秋•龙岩校级期中）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝100，
整理得：x2+2x﹣99＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（2021秋•庆云县期中）骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的头盔销售额×（1+增长率）2＝2020年的头盔销售额，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是x，
由题意得：18（1+x）2＝30.42，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去），
答：我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是30%，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2021秋•历城区期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为xm，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
31．（2022春•呼兰区校级期末）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 15 ．
【分析】设每个支干长出小分支的个数是x，根据主干、支干、小分支的总数是241，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，
依题意得：1+x+x2＝241，
整理得：x2+x﹣240＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出小分支的个数是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x人，根据“开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用再过一天发病人数＝50×（1+每位发病者平均每天传染人数），可求出再过一天发病人数，再与200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，
依题意得：2（1+x）2＝50，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：每位发病者平均每天传染4人．
（2）50×（1+4）＝50×5＝250（人），
250＞200．
答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
33．（2021秋•陵水县期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克盈利10元，每天可售出500千克，每天盈利8000元，列出方程，求解即可．
【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x＝10或x＝30，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价10元；
答：每千克水果应涨价10元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
34．（2021秋•西山区校级期末）《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为 （36﹣2x） 米；
（2）当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
【分析】（1）平行于墙的一边长＝篱笆总长﹣垂直于墙的边长．
（2）由矩形面积＝长×宽可得x（36﹣2x）＝144，再检验平行于墙的一边长要小于20米，进而求解．
【解答】解：（1）平行于墙的一边长为（36﹣2x）米，
故答案为：（36﹣2x）．
（2）由题意可列方程：x（36﹣2x）＝144，
解得：x1＝6，x2＝12
当x＝6时，36﹣2x＝24＞20，不符合题意舍去．
答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题干找出等量关系，掌握求解一元二次方程的方法．
35．（2021秋•平顶山期末）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．
【分析】（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×＝200x（张），根据“平均每天刚好达到3000元营业额”列方程求解即可；
（2）用12月27日后还剩余的卡片数除以降价后每天售出的卡片数判断元旦前能否售完贺卡，再根据利润率的概念列式计算即可．
【解答】解：（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×＝200x（张），
由题意，得：（7﹣x）（300+200x）＝3000，
整理，得：2x2﹣11x+9＝0，
解得x1＝1，x2＝4.5（不符合题意，舍去），
答：每张贺卡应降价1元；
（2）由（1）知，降价后每天可售出贺卡300+200x＝500（张），
12月27日后还剩余3200﹣1200＝2000（张），
故还需要销售2000÷500＝4（天），
显然到12月31日即可售完全部贺卡，
所以摊主能在元旦前售完贺卡，
摊主此次销售贺卡的利润率为×100%＝27.5%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
36．（2021秋•瓦房店市期末）借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用36m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若花园的面积是224m2，求AB的长．
【分析】根据AB＝xm，就可以得出BC＝（36﹣x）m，由矩形的面积公式就可以得出关于x的方程，解之可得；
【解答】解：设AB的长为xm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝（36﹣x）m．
∴x（36﹣x）＝224．
解得：x1＝8，x2＝28．
答：AB的长为8m或28m．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出方程是解答此题的关键．
37．（2021秋•永城市期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量＝三月份平均日产量×（1+增长率），即可预计出四月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，
依题意得：40000（1+x）2＝48400，
解得：x1＝﹣2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）48400×（1+10%）＝53240（个）．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十三．配方法的应用（共3小题）
38．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
39．（2021秋•青神县期末）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x2+y2＝ 10 ．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式整理得：
（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0，
即（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
则原式＝1+9＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
40．（2021秋•唐县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：
因为x2﹣6x+10＝（x ﹣3 ）2+ 1 ，所以当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+10有最 小 （填“大”或“小”）值，这个最值为 1 ；
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）利用作差法列出关系式，再利用完全平方公式配方，根据非负数的性质判断出大小即可．
【解答】解：（1）因为x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
所以当x＝3时，代数式x2﹣6x+10有最小值，这个最值为1；
故答案为：﹣3，1，3，小，1；
（2）∵（x﹣1）2≥0，
∴（x2﹣1）﹣（2x﹣3）
＝x2﹣1﹣2x+3
＝（x2﹣2x+1）+1
＝（x﹣1）2+1≥1＞0，
则x2﹣1＞2x﹣3．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
专题01 一元二次方程（13个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）2＝x+1 C．x2＝x2+1 D．x+2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可．
【解答】解：A．当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B．（x+1）2＝x+1是一元二次方程，故B符合题意；
C．由原方程得到0＝1，不成立，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．x+2＝0未知数最高次数是1，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2022春•南岗区校级期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项：该方程是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B选项：该方程中含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C选项：该方程是分式方程，不符合题意；
D选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
3．（2021秋•房县期末）下列方程，是一元二次方程一般形式的是（ ）
A．2x2﹣3x＝0 B．x2＝1 C．2x2﹣3x＝﹣1 D．2x2＝﹣3x
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：A．2x2﹣3x＝0，符合一般形式，故本选项符合题意；
B．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
C．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
D．不符合一般形式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
4．（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
5．（2021秋•甘井子区期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，1 D．5，﹣4，﹣1
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：5x2+1＝4x可化为5x2﹣4x+1＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，﹣4，1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解（共3小题）
6．（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入原方程，得
1﹣2m+m＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
7．（2021秋•雁江区期末）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1
【分析】先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m＝1或m＝﹣1，
因为m﹣1≠0，
所以m的值为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（2021秋•泰州期中）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2022﹣m2+m的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
【分析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，再把2021﹣m2+m变形为2021﹣（m2﹣m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0得m2﹣m＝3，
所以m2﹣m＝3，
所以2022﹣m2+m＝2022﹣（m2﹣m）＝2022﹣3＝2019．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
9．（2021秋•川汇区期中）如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
【分析】将x＝2代入方程得出c的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
∴方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
即这个方程的另一个根为x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（2021秋•硚口区期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解关于c的方程．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
11．（2022春•拱墅区期中）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（2021秋•重庆期末）一元二次方程x2+6x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝9
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣3＝0，
x2+6x＝3，
x2+6x+9＝3+9，
（x+3）2＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
13．（2021秋•晋安区校级期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；
B．此方程的解为x＝，不符合题意；
C．此方程的解为x＝，符合题意；
D．此方程的解为x＝，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2021秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（ ）
A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1
C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1
【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
【解答】解：A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x+1＝0，
整理得：x2﹣x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x+1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、A、令y1+y2＝0，
则﹣﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、A、令y1+y2＝0，
则x2+2x﹣x﹣1＝0，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，根据题意令y1+y2＝0，然后进行计算是解题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
15．（2021秋•西青区期末）下列各数是方程x2+3x﹣10＝0的根的是（ ）
A．2和5 B．﹣5和3 C．5和3 D．﹣5和2
【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断．
【解答】解：方程x2+3x﹣10＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，
所以x﹣2＝0或x+5＝0，
解得：x＝2或x＝﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2022春•南岗区校级期中）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0．
（2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）方程左边分解因式后，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得：x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（3x﹣2）+5（3x﹣2）＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+5）＝0，
可得：3x﹣2＝0或x+5＝0，
∴x1＝，x2＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
八．换元法解一元二次方程（共2小题）
17．（2021秋•揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到x2+2x的值．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把x2+2x看成一个整体来计算，即换元法思想．
18．（2022春•宁海县期中）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为 3 ．
【分析】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2＝y，利用换元法得到新方程y2﹣y﹣6＝0，求解即可．
【解答】解：设a2+b2＝y，
据题意得y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝3，y2＝﹣2，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，以及学生的综合应用能力，解题时要注意换元法的应用，还要注意a2+b2的取值是非负数．
九．根的判别式（共2小题）
19．（2021秋•碑林区校级期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．x2+2x＝0 D．2x2﹣x﹣1＝0
【分析】分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0中，Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B．方程x2﹣x+2＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C．方程x2+2x＝0中，Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D．方程2x2﹣x﹣1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
20．（2021秋•两江新区期末）一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】y＝ax2+bx+c（a≠0）的Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根，题中b＝﹣1．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴一元二次方程x2﹣x+1＝0没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
一十．根与系数的关系（共3小题）
21．（2021秋•天门期中）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2021的值是（ ）
A．2025 B．2021 C．2020 D．2024
【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2021＝﹣（a+b）+2024即可求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2021
＝﹣a+3﹣b+2021
＝﹣（a+b）+2024
＝1+2024
＝2025．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
22．（2021秋•密山市校级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两个实数解，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝﹣5．
∴＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
23．（2021秋•陵水县期末）若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【分析】利用根与系数的关系求出两根之积即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个根，
∴x1•x2＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
24．（2021秋•雁塔区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7500（1+2x）＝9000
B．7500×2（1+x）＝9000
C．7500（1+x）2＝9000
D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的快递业务量×（1+增长率）2＝2021年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：7500（1+x）2＝9000．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
25．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC＝（20+1﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝xm，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依题意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650
B．30x+2×25x﹣2x2＝650
C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650
D．（30﹣x）（25﹣2x）＝650
【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形，再根据种植面积为650平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（25﹣x）米的长方形．
依题意得：（30﹣2x）（25﹣x）＝650．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2021秋•莆田期末）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．500（1+x）2＝1820
B．500+500（1+x）2＝1820
C．500（1+x）+500（1+x）2＝1820
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820
【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
【解答】解：∵三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为500（1+x），五月份为500（1+x）2人，
∴方程为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．
一十二．一元二次方程的应用（共10小题）
28．（2021秋•龙岩校级期中）有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝100，
整理得：x2+2x﹣99＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（2021秋•庆云县期中）骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2018年到2020年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
【分析】根据题意可得等量关系：2018年的头盔销售额×（1+增长率）2＝2020年的头盔销售额，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是x，
由题意得：18（1+x）2＝30.42，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去），
答：我国头盔从2018年到2020年平均每年增长率是30%，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2021秋•历城区期中）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为xm，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
31．（2022春•呼兰区校级期末）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 15 ．
【分析】设每个支干长出小分支的个数是x，根据主干、支干、小分支的总数是241，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，
依题意得：1+x+x2＝241，
整理得：x2+x﹣240＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出小分支的个数是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人；
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x人，根据“开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用再过一天发病人数＝50×（1+每位发病者平均每天传染人数），可求出再过一天发病人数，再与200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，
依题意得：2（1+x）2＝50，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：每位发病者平均每天传染4人．
（2）50×（1+4）＝50×5＝250（人），
250＞200．
答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
33．（2021秋•陵水县期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克盈利10元，每天可售出500千克，每天盈利8000元，列出方程，求解即可．
【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x＝10或x＝30，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价10元；
答：每千克水果应涨价10元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
34．（2021秋•西山区校级期末）《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接cop15，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为 （36﹣2x） 米；
（2）当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
【分析】（1）平行于墙的一边长＝篱笆总长﹣垂直于墙的边长．
（2）由矩形面积＝长×宽可得x（36﹣2x）＝144，再检验平行于墙的一边长要小于20米，进而求解．
【解答】解：（1）平行于墙的一边长为（36﹣2x）米，
故答案为：（36﹣2x）．
（2）由题意可列方程：x（36﹣2x）＝144，
解得：x1＝6，x2＝12
当x＝6时，36﹣2x＝24＞20，不符合题意舍去．
答：当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为12米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题干找出等量关系，掌握求解一元二次方程的方法．
35．（2021秋•平顶山期末）元旦前夕，某批发市场礼品柜台以每张5元的进货价购进3200张贺卡．当销售价为7元时，平均每天可售出300张．
（1）为了减少库存，摊主决定降价销售．市场调查发现：如果这种贺卡的售价每降低0.5元，那么平均每天可多售出100张．摊主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额，则每张贺卡应降价多少元？
（2）已知摊主在12月27日销售完1200张后，采取（1）中的降价措施，请你判断摊主能否在元旦前售完贺卡（12月共计31天）？若能售完，计算他此次销售贺卡的利润率；若不能售完，说明理由．
【分析】（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×＝200x（张），根据“平均每天刚好达到3000元营业额”列方程求解即可；
（2）用12月27日后还剩余的卡片数除以降价后每天售出的卡片数判断元旦前能否售完贺卡，再根据利润率的概念列式计算即可．
【解答】解：（1）设每张贺卡应降价x元，则现在的售价为（7﹣x）元，每天可多售出100×＝200x（张），
由题意，得：（7﹣x）（300+200x）＝3000，
整理，得：2x2﹣11x+9＝0，
解得x1＝1，x2＝4.5（不符合题意，舍去），
答：每张贺卡应降价1元；
（2）由（1）知，降价后每天可售出贺卡300+200x＝500（张），
12月27日后还剩余3200﹣1200＝2000（张），
故还需要销售2000÷500＝4（天），
显然到12月31日即可售完全部贺卡，
所以摊主能在元旦前售完贺卡，
摊主此次销售贺卡的利润率为×100%＝27.5%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
36．（2021秋•瓦房店市期末）借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用36m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），若花园的面积是224m2，求AB的长．
【分析】根据AB＝xm，就可以得出BC＝（36﹣x）m，由矩形的面积公式就可以得出关于x的方程，解之可得；
【解答】解：设AB的长为xm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝（36﹣x）m．
∴x（36﹣x）＝224．
解得：x1＝8，x2＝28．
答：AB的长为8m或28m．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出方程是解答此题的关键．
37．（2021秋•永城市期末）某口罩生产厂生产的口罩一月份平均日产量为40000个，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起扩大产能，使三月份平均日产量达到48400个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计四月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，根据三月份平均日产量达到48400个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用四月份平均日产量＝三月份平均日产量×（1+增长率），即可预计出四月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则二月份平均日产量为40000（1+x）个，三月份平均日产量为40000（1+x）2个，
依题意得：40000（1+x）2＝48400，
解得：x1＝﹣2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）48400×（1+10%）＝53240（个）．
答：预计四月份平均日产量为53240个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十三．配方法的应用（共3小题）
38．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
39．（2021秋•青神县期末）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x2+y2＝ 10 ．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：已知等式整理得：
（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0，
即（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
则原式＝1+9＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
40．（2021秋•唐县期末）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：
因为x2﹣6x+10＝（x ﹣3 ）2+ 1 ，所以当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+10有最 小 （填“大”或“小”）值，这个最值为 1 ；
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）利用作差法列出关系式，再利用完全平方公式配方，根据非负数的性质判断出大小即可．
【解答】解：（1）因为x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
所以当x＝3时，代数式x2﹣6x+10有最小值，这个最值为1；
故答案为：﹣3，1，3，小，1；
（2）∵（x﹣1）2≥0，
∴（x2﹣1）﹣（2x﹣3）
＝x2﹣1﹣2x+3
＝（x2﹣2x+1）+1
＝（x﹣1）2+1≥1＞0，
则x2﹣1＞2x﹣3．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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