人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)01《一元二次方程》（2份打包，教师版+学生版）

第1讲  一元二次方程

1．若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．

2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值．

3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A．(x＋1)2＝0     B．(x－1)2＝0     C．(x＋1)2＝2      D．(x－1)2＝2

4．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是(　 　)

A．x1＝－1，x2＝3             B．x1＝1，x2＝－3

C．x1＝－1，x2＝－3           D．x1＝1，x2＝3

知识点一：一元二次方程的解法

方法1　形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解

方法2　形如当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解

用配方法解一元二次方程的一般步骤

         移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

         二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

         配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；

【注意】1）当时，方程无解

         2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”

         求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

方法3　能化成形如或的一元二次方程用因式分解法求解

用因式分解一元二次方程的一般步骤：

         将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

         将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

         令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

         求解

归纳：右化零，左分解，两因式，各求解

方法4　形如的一元二次方程用公式法求解，

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

         把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);

         求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;

         如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：

         最后求出x1，x2

知识点二：根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，若b2－4ac>0，方程有两个不相等的实数根；b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根；b2－4ac<0，方程没有实数根。

利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．

知识点三：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根与系数的关系

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝； ＝

名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.

1、选择适当的方法解下列方程：

(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；                     (2)x2－6x－6＝0；

(3)6 000(1－x)2＝4 860；                      (4)(10＋x)(50－x)＝800；

(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.

【变式训练1-1】已知△ABC的三边a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．

2.1、已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(　 　)

A．当k＝0时，方程无解                       B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解       D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

2.2、已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，

(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

2.3、已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．

【变式训练2-1】已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．

【变式训练2-2】已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．

3.1、设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．

(1)(x1－3)(x2－3)；          (2)＋；                 (3)x1－x2.

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3.2、已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值．

【变式训练3-1】 已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是(　 　)[来源:学§科§网Z§X§X§K]

A．3         B．1       C．3或－1       D．－3或1

【变式训练3-2】已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　 　)

A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定

2．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是(　　)

A．有两个相等的实数根        B．有两个不相等的实数根

C．有实数根                  D．没有实数根

3．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则第三边的长为（　　）

A．2    B．5    C．7    D．5或7

4．已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（　　）

A．x1+x2=1    B．x1•x2=﹣1    C．|x1|＜|x2|    D．x12+x1=

5．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是(　　)

A．27　　　B．36　　　C．27或36　　　D．18

6．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是______．

7．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

8．已知关于的一元二次方程.

（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根，满足，求的值.

9．已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．

10．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？

1．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（  ）

A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在

3．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ）

A．    B．1    C．    D．

4．（2018春 汕头市期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2＋2x－3=0的根，则▱ABCD的周长为(     )

A．4＋2    B．12＋6    C．2＋2    D．2＋或12＋6

5．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    )

A．-1或5    B．1    C．5    D．-1

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．