初中北师大版（2024）3 二次函数的应用课前预习ppt课件

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用待定系数法求二次函数的表达式利用二次函数解决实际问题
用待定系数法求二次函数的表达式
1. 常见的二次函数表达式的适用条件(1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的 坐标； (2)顶点式y=a(x-h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值； (3)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0 )，(x2，0)。
2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式。(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组。(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值。(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式。
技巧提醒特殊位置抛物线的表达式的求解技巧：1. 顶点在原点，可设为y=ax2；2.对称轴是y轴(或顶点在y 轴上)，可设为y=ax2+k；3. 顶点在x 轴上，可设为y=a(x－h)2；4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx。
【母题 教材P142随堂练习T2(1)】 如图5-3-1，抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点为A，与y轴的交点为B，OA=OB=3。求此抛物线的表达式。
解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤解决问题。
1-1. 将抛物线y=-x2 平移后经过A(1，-2)，B(3，-1)两点，求平移后的抛物线的表达式。
【母题 教材P142随堂练习T1】已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-2，3)，且图象与y轴的交点在 y 轴正半轴上距原点4 个单位长度处，求这个二次函数的表达式。
解题秘方：紧扣已知的顶点坐标，用待定系数法设出顶点式，求出函数的表达式。
2-1. 在二次函数y=ax2+bx+c 中，x 与y 的几组对应值如下表所示，求二次函数的表达式。
已知抛物线与x轴的交点是A(-2，0)，B(1，0)，且抛物线经过点C(2，8)，求该抛物线对应的函数表达式。
解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式。
解：∵抛物线与 x 轴的交点是 A(-2，0)，B(1，0)， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x+2)(x-1)。∵ 抛物线经过点C(2，8)，∴ 把点 C(2，8)的坐标代入 y= a(x+2)(x-1)，得8=a(2+2)×(2-1)，解得a=2。∴该抛物线对应的函数表达式为 y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4。
3-1. 如图， 已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x=2。求此抛物线的表达式。
解：∵抛物线过点O(0，0)，且它的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)。设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把点A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1。∴此抛物线的表达式为y＝x2－4x。
利用二次函数解决实际问题
1. 常用方法：利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题。
2. 一般步骤(1)审：仔细审题，理清题意。(2)找：找出问题中的变量和常量。(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题。(4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题。(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论。
要点解读用二次函数解决实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系外，还要符合实际意义。
如图 5-3-2，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°。若新建墙BC与CD总长为12 m，求该梯形储料场ABCD的最大面积。
解题秘方：紧扣求图形面积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质解决面积最值问题。
解：如图5-3-2，过点C作CE⊥AB于点E，设CD=x m，梯形储料场ABCD的面积为S m2，则BC=(12-x) m。易知四边形ADCE为矩形， ∴AD=CE，CD=AE=x m，∠DCE=90°， ∴∠BCE= ∠BCD- ∠DCE=30°。
4-1. 如图， 为美化环境，某小区计划在一块长为80 m、宽为50 m的矩形空地上修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为a m。已知某园林公司修建通道的造价为80 元/m2，花圃的造价为100 元/m2，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过6 m，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
解：设修建通道和花圃的总造价为w元。由题意得花圃的面积为(80－2a)(50－2a)＝4a2－260a＋4 000，∴w＝80[50×80－(4a2－260a＋4 000)]＋100(4a2－260a＋4 000)＝80a2－5 200a＋400 000＝80(a－32.5)2＋315 500。
∵80>0，∴当a