第03讲 等式与不等式的性质（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质
知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式常用推论
题型破译 (含超链接）
\l "题型1 不等式性质的正误判断" 题型1 不等式性质的正误判断
【方法技巧】不等式性质的快速判断
【易错分析】忽略前提条件
\l "题型2 比较大小" 题型2 比较大小
【方法技巧】比较大小的解题策略
【易错分析】方法选择不当
\l "题型3 求代数式的取值范围" 题型3 求代数式的取值范围
【方法技巧】求代数式范围的规范步骤
【易错分析】范围扩大问题
\l "题型4 不等式的基础证明" 题型4 不等式的基础证明
【方法技巧】不等式证明的基础方法
【易错分析】逻辑不严谨
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 等式的基本性质
对称性：若a=b，则b=a ；
传递性：若a=b且b=c，则a=c；
可加性：若a=b，则a+c=b+c ；
可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 。
自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知csα+2sinβ=1，且α，β∈0,π2，则M=2csα−cs2β的取值范围是（ ）
A．0,1B．−12,1C．−1,1D．−12,0
\l "_Tc25045" 知识点2 不等式的基本性质
自主检测（多选题）若a>0，b>0，a+b=4，则（ ）
A．a−4b≥0B．1a+1b≥1
C．a+b≤22D．12baD．若a>0，b>0，a+b=1，则1a+1b≥4
题●型●破●译
题型1 不等式性质的正误判断
例1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数a，b满足a>b，则（ ）
A．a+1>b+1B．a+1c−a
C．a2+d2>2bcD．若a≤1，bc=4，则a+d的最小值为5
【变式训练1-7·变考法】（多选题）已知实数a,b,c≠0，且a2bc,bac,c+2a2ba成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．2b2≤a2+c2B．a2≤b2≤c2
C．b2≥acD．a2b2+b2c2≥2a2c2
题型2 比较大小
例2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数x,y,z满足x>y>z，则（ ）
A．x−yy−zyz
C．1x0）是“aλ上界斜率曲线”；
(3)已知函数ℎ(x)的定义域与值域均为[0,1]，若曲线y=ℎ(x)为“λ上界斜率曲线”，且0y”是“x2x>y2y”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b，c>d，则a−d>b−c
C．若a0，ccb.
核心考点
2026年
2025年
2024年
不等式的基本性质
——
——
——
比较大小
——
全国一卷T8（5 分）
——
利用不等式性质求范围
全国一卷T10（4 分）
全国二卷T10（4 分）
全国一卷T10（4 分）
全国甲卷（文理） T3（5 分）
全国Ⅰ卷T8（5 分）
全国Ⅰ卷T18（4 分）
不等式的推论与应用
全国一卷T14（5 分）
全国一卷T17（8 分）
全国一卷T19（10 分）
全国二卷T19（13 分）
全国一卷T19（10 分）
全国二卷T19（6 分）
全国甲卷（理） T21（6 分）
全国甲卷（文理） T23（12 分）
全国Ⅰ卷T19（4分）
考情分析
等式与不等式的性质是高中数学的基础工具，新教材强化了其与函数、数列、导数的融合考查，删除了繁琐的不等式证明技巧，侧重性质的直接应用与逻辑推理。题型以选择题第 2-4 题为主，分值固定5分，整体难度中等偏下，属于必得分板块。
考查方向：
1. 不等式基本性质的正误判断（核心高频）；
2. 作差法、作商法、中间量法比较大小；
3. 利用不等式性质求代数式的取值范围；
4. 结合函数单调性、指数对数运算考查不等式应用；
常结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性，以及数列、立体几何中的不等关系考查，侧重数学运算与逻辑推理核心素养，强调变形的等价性。
复习目标
1. 掌握等式的基本性质，理解其作为代数变形的基础地位。
2. 熟练掌握不等式的8条基本性质，能准确判断不等式变形的等价性。
3. 掌握作差法、作商法、中间量法三种比较大小的核心方法。
4. 能利用不等式性质求代数式的取值范围，掌握 “同向不等式相加” 的边界控制技巧。
5. 理解不等式的常用推论，能结合函数单调性解决综合不等问题。
性质名称
具体内容
注意事项
对称性
a>b⇔bb,b>c⇒a>c
单向推导
可加性
a>b⇔a+c>b+c
双向等价，移项的依据
同向可加性
a>b,c>d⇒a+c>b+d
单向，可推广到 n个同向不等式
可乘性
a>b,c>0⇒ ac>bc
a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd
必须同时满足 "同向"和"正数"
乘方性
a>b>0⇒> (n∈N,n≥2)
仅对 成立
开方性
a>b>0⇒ ​(n∈N,n≥2)
仅对 成立
方法技巧 不等式性质的快速判断
1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项；
2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性；
3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。
易错分析 忽略前提条件
1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响；
2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提；
3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。