2027年高考数学一轮复习讲义 第03讲 等式与不等式的性质

这是一份2027年高考数学一轮复习讲义 第03讲 等式与不等式的性质，共16页。学案主要包含了变式训练 1-1，变式训练 1-2，变式训练 1-3，变式训练 1-4，变式训练 1-5，变式训练 2-2·，变式训练 2-3，变式训练 2-4等内容，欢迎下载使用。
集
合
知识点 1等式的基本性质与
第 常
03
对称性：若a=b，则 b=a ；用
辑
传递性：若a=b 且b=c，则 a=c；讲 逻
可加性：若a=b，则 a+c=b+c ；集 用
ab合 语
可乘性：若a=b，则 ac=bc；若 a=b 且 c≠0，则  。及
cc其
算
自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知cs? + 2sin? = 1，且?，? ∈ (0, π)，则? = 2cs? − cs2?的运
2
取值范围是（ ）
A．(0,1)B．(− 1 , 1)C．(−1,1)D．(− 1 , 0)
22
1
知识点 2不等式的基本性质
自主检测（多选题）若? > 0，? > 0，? + ? = 4，则（ ）
A．? − 4 ≥ 0B．1 + 1 ≥ 1
???
C．√? + √? ≤ 2√2D．12 < ?2 + 3?2 < 48
知识点 3比较大小的常用方法
a  b＞0  a＞b;
作差法（通用）： a  b=0  a  b；
a  b＜0  a＜b。
性质名称
具体内容
注意事项
对称性
a>b⇔bb,b>c⇒a>c
单向推导
可加性
a>b⇔a+c>b+c
双向等价，移项的依据
同向可加性
a>b,c>d⇒a+c>b+d
单向，可推广到 n 个同向不等式
可乘性
a>b,c>0⇒ ac>bc
a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd
必须同时满足 "同向"和"正数"
乘方性
a>b>0⇒ an > bn (n∈N,n≥2)
仅对成立
开方性
a>b>0⇒ n a＞n b (n∈N,n≥2)
仅对成立
a ＞1  a＞b
作商法（适用于同号两数）：若 a,b>0，则 b
中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。
a  1  a  b
; b
a ＜1  a＜b
; b。
集 自主检测设? = 20.3 × 0.32，? = 0.30.3 × 22，? = 20.3 × 22，则（ ）
合A．? < ? < ?B．? < ? < ?C．? < ? < ?D．? < ? < ?
与
03
用
第 常知识点 4不等式的常用结论
讲
逻
辑1 ＜ 1
集 用 1.倒数法则：a＞b,ab＞0⇒ ab ；
合 语
及2.分数性质：若a>b>0,m>0，则（真分数性质） ；
其
运3.绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。
算自主检测（2026·山东济宁·模拟）（多选题）已知?，?，?为实数，则（）
A．若??2 > ??2，则? > ?B．若? > ?，?? ≠ 0，则1 < 1
??
C．若? > ? > ? > 0，则?+? > ?D．若? > 0，? > 0，? + ? = 1，则1 + 1 ≥ 4
2
?+??
题型突破
??
题型 1不等式性质的正误判断
例 1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数?，?满足? > ?，则（）
A．? + 1 > ? + 1 B．? + 1 < ? + 1C．3? < 3?D．? − ? < 0
例 1-2（2026·四川绵阳南山中学实验学校·高考冲刺）已知?, ? ∈ ?，且0 < |?| < ? < 1，则（ ）
A．?2 > ?2B．1 > 1
C． 1 > 1
D．cs? < cs?
??
?+1?+1
方法技巧不等式性质的快速判断
特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项；
性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性；
函数法：将不等式转化为函数单调性问题。
易错分析忽略前提条件
忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响；
忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提；
混淆同向可加性与同向可乘性的条件。
【变式训练 1-1】（25-26 高三下·江苏G4·4 月联考）已知实数? > 0, ? > 0，则“? + ? < 1”是“?? < 1”的
4
（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件集
合
【变式训练 1-2】（多选题）（2026·芜湖安师大附中·适应性检测）若非零实数?, ?满足?2 + ?2 = 4，则下与
列结论一定成立的是（ ）第 常
03
用
A．1 + 1 ≥ 1B．? + ? ≤ 2√2C．?? ≤ 2D．3? + 4? ≤ 10讲 逻
??辑
【变式训练 1-3】（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（ ）集 用
合 语
A．若?2 > ?2，则? < ?B．若? ? > ?√?，则? > ?及
??√其
C．若? < ? < 0，则? − 1 > ? − 1
D．若−2 < ? < 3，1 < ? < 2，则−4 < ? − ? < 2运
??算
【变式训练 1-4】（多选题）（2026·黔西南顶兴中学·二模）已知实数?，?满足√? − 1 > √? − 1，则
（ ）
A．? > ?B．1 < 1
3
??
C．(? − ?)(? + ? − 2) < 0D．2? − 2? > 3−? − 3−?
【变式训练 1-5】（多选题）已知? > 0, ? > 0，则下列说法正确的是（ ）
A．若? > ?, ? < 0，则?? > ??B．若? > ?, ? > 0，则 ? > ?+?
??+?
C．若3? + ? = 2，则 1 + 1的最小值为4 + 2√3D．若? + ? = 2，则 √? + √?的最大值为 2
??
【变式训练 1-6·变载体】（多选题）（2026·河北雄安新区·预测）已知 4 个正数?，?，?，?成等比数列
（公比? ≠ 1），则（ ）
A．?? > ??B．? − ? > ? − ?
C．?2 + ?2 > 2??D．若? ≤ 1，?? = 4，则? + ?的最小值为 5
【变式训练 1-7·变考法】（多选题）已知实数?, ?, ? ≠ 0，且 |?| , ? , |?|+2|?|成等差数列，则下列说法正确
的是（ ）
2?|?|
|??|
2?|?|
A．2?2 ≤ ?2 + ?2B．?2 ≤ ?2 ≤ ?2
?2 ≥ |??|D．?2?2 + ?2?2 ≥ 2?2?2
题型 2比较大小
例 2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数?, ?, ?满足? > ? > ?，则（ ）
A．(? − ?)(? − ?) < 0B．?? > ??
< 1D． 1 < 1
??
?−?
?−?
例 2-2
【新考法】
（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星
1.
2.
3.
4.
指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ；
同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ；
同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ；
复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。
易错分析方法选择不当
1.
2.
3.
作商法比较大小时忽略分母符号 ；
构造函数时定义域判断错误 ；
指数函数与对数函数单调性混淆。
2
集 合 与 第 常
用
方案丁：第一次提价(2? + 2?)%，第二次降价(? + ?)%；
其中0 < ? < ? < 50，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
辑 集 用合 语及 其 运 算
A．甲
方法技巧
B．乙
C．丙
D．丁
讲 逻
比较大小的解题策略
4
03
方案甲：第一次提价?%，第二次提价?%；方案乙：第一次提价?%，第二次提价?%；方案丙：第一次和第二次均提价(?+?) %；
【变式训练 2-1·变载体】（2026·长沙铁一中·模拟）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加 200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是 x 元/升，第二次加油都是 y 元/升（? ≠ ?），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（）
A．乙B．不能确定C．一样D．甲
【变式训练 2-2·】（2026·河北部分高中·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为 r，高分别为 h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 ℎ1 + ℎ2 =4r，则圆锥的体积 V₁ 与圆柱的体积 V₂ 的大小关系为（ ）
A．?1 > ?2B．?1 = ?2C．?1 < ?2D．不确定
【变式训练 2-3】已知57 > 310，410 > 77.设? = lg47，? = 2lg72 + lg73，? = lg925，则（ ）
A．? < ? < ?B．? < ? < ?C．? < ? < ?D．? < ? < ?
【变式训练 2-4】（2026·西宁大通二中·仿真模拟）（多选题）下列不等式中成立的是（ ）
A．若? > ? > 0，则??2 > ??2B．若? > ? > 0，则?2 > ?2
C．若? < ? < 0，则?2 < ?? < ?2D．若? < ? < 0，则1 < 1
??
) (
【变式训练 2-5】（2026·江西重点中学协作体·第二次联考）（多选题）已知? > ? > 0, ? < 0，则下列不等式成立的是（ ）
A．? > ?
B．? > ?−?
C．?? > ??D．(? + 11 + ?) ≤ 0
??
??−?
??
【变式训练 2-6】（多选题）已知? > ? > 0，则下列说法正确的是（ ）
A．ln? > ln?B．cs? < cs?
1
?
C．若? > 0，则?? > ??D． >
1 ?
( )()
22
【变式训练 2-7·变考法】（2026·武汉武昌·五月供题）（多选题）已知随机事件?，?满足0 < ?(?) < 1，
0 < ?(?) < 1，记? = ?(?)?(?)，? = ?(? ∪ ?)，若?，?互斥，则（ ）集合
A．?(??) ≠ 0B．? > 2?与
C．当? =
1时，?的最大值为 1
D．若? =
1，则? = 1第 常
03
用
2164
讲 逻
辑
题型 3求代数式的取值范围集 用
合 语
及其
例 3-1（25-26 高三下·安徽滁州来安中学·考前预测）已知正实数 x，y 满足ln(2?) + ln? = ? + 2? − 2，则运
算
?? − ?? =（ ）
A．√2
4
B．1
2
C．√2
2
D．1
5
例 3-2（2026·四川广安友谊中学·模拟）（多选题）已知?1，?2两点的坐标分别为(−?, 0)，(?, 0)(? > 0)，曲线?上任意一点?(?, ?)满足|??1| ⋅ |??2| = ?2(? > 0)，则（ ）
A．曲线?关于原点对称
2
B．|?| ≤ √?2 + ?2，|?| ≤ ?
2?
C．若? > ?，则曲线?与圆：?2 + ?2 = 3?2有交点
D．若? = ?，直线? = ??与曲线?有 3 个交点，则?的取值范围为(−1,1)
方法技巧求代数式范围的规范步骤
1.
2.
3.
设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ；
利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ；
合并得到最终范围，注意边界值的验证。
易错分析范围扩大问题
1.
2.
3.
多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ；
忽略变量之间的相互制约关系 ；
端点值无法同时取到，错误包含端点。
【变式训练 3-1】（多选题）已知不相等的实数?，?满足?? = ? + ? + 3，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数?使得?，?是方程?2 − ?? + ? + 3 = 0的两根
B．若?, ? > 0，则??的取值范围是(9, +∞)
C．? + ?的取值范围是(6, +∞)
D．?2 + ?2的取值范围是(2, +∞)
?=1
ln(2? − 1)，在点(?, ?(?))(? ∈ ?∗)处作曲线? = ?(?)的切线??，其纵截距记为??，若∑?
?(?) ≤ ∑?
?? + ??
?=1
对? ∈ ?∗恒成立，则实数?的取值范围为．
集 【变式训练 3-3·变载体】（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）记△ ???的内角 A，B，C 的对边分别
合 为 a，b，c，若 a，b，c 成公差为?(? > 0)的等差数列，且? = 1．
与
第 常 (1)求 d 的取值范围；
03
用
讲
逻 (2)求cs? + cs? + cs?的取值范围．
辑?2+?2−?2
集 用 【变式训练 3-4】△ ???的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，已知(? − 2?)cs? +
及
合 语 (1)若? = 4，? + ? = 8，求△ ???的面积；
其(2)若角?为钝角，求?的取值范围．
运?
算
= 0．
2?
6
【变式训练 3-5·变载体】（2026·陕西宝鸡中学·冲刺一）已知函数?(?)的定义域为?，点
?(?1, ?(?1)), ?(?2, ?(?2))是曲线? = ?(?)上不同的两点，记?, ?两点连线的斜率为???，若|???|存在最大值，且最大值为?，则称曲线? = ?(?)为“?上界斜率曲线”．
(1)已知函数?(?) = ?2 + 3?，? ∈ [1,4]，判断曲线? = ?(?)是否为“?上界斜率曲线”，并说明理由；
(2)已知函数?(?)的定义域为闭区间?，且曲线? = ?(?)是“?上界斜率曲线”，证明：曲线? = ?(?? + ?)
（?, ? ∈ ?，且? > 0）是“??上界斜率曲线”；
(3)已知函数ℎ(?)的定义域与值域均为[0,1]，若曲线? = ℎ(?)为“?上界斜率曲线”，且0 < ? ≤ 1，求ℎ(1)的
2
值．
题型 4不等式的基础证明
例 4-1（25-26 高三上·浙江金丽衢十二校·第一次联考）对实数?, ?，则“|?| > |?|”是“?2|?| > ?2|?|”的
（ ）集
合
A．充分不必要条件B．必要不充分条件与
第 常
03
C．充要条件D．既不充分也不必要条件用
辑
例 4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数 a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）讲 逻
A．若? > ? > 0，则??2 > ??2B．若? > ?，? > ?，则? − ? > ? − ?集 用
合 语
C．若? < ? < 0，则1 > 1
D．若0 < ? < ?且? > 0，则? < ?+?及
??
??+?其
方法技巧不等式证明的基础方法
综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ；
分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ；
作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。
易错分析逻辑不严谨
证明过程中使用未证明的结论 ；
忽略不等式性质的前提条件 ；
循环论证 。
运算
7
【变式训练 4-1】（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意实数?都有|?2 − 1| ≥ 0
B．若2 < ? < 5,3 < ? < 10，则−18 < ? − 2? < −1
C．当? > 1时，? + 1 的最小值是 2
?−1
D．若?: ∃? ∈ N, ?2 > 2?，则¬?: ∃? ∈ N, ?2 ≤ 2?
【变式训练 4-2·变考法】（2026·山东青岛·二模）若数列{??}满足：??−1 + ??+1 > 2??(? ≥ 2, ? ∈ ?*)，则称{??}为“? − ?数列”．
(1)已知?? = ?3，判断数列{??}是否为“? − ?数列”；
已知数列{??}为“? − ?数列”，若任意不相等的正整数?, ?, ?满足? + ? = 2?．证明：?? + ?? > 2??；
若数列{? }为“? − ?数列”，?
≥ 0，且满足∑?
? < 1(? ∈ ?*)．证明：0 ≤ ?
− ? 0)经过圆心?．
与 (1)求圆?的标准方程．
第 常
03
用 (2)设Γ与圆?交于?，?两点，证明：?，?两点到?轴的距离均不小于3?．
讲
逻4
辑 (3)?为坐标原点，过圆心?的直线?交Γ于另一点?，Γ的焦点为?，求|??|2 + |??|2 − |??|2 − |??|2的最小
集 用
合 语 值．
及其运算
8
真题训练
单选题
1．（2024·上海·春季高考）?，?，? ∈ ?，? > ?，下列不等式恒成立的是（ ）
A．? + ?2 > ? + ?2B．?2 + ? > ?2 + ?C．??2 > ??2 D．?2? > ?2?
2．（2018·全国卷 III·高考）设? = lg0.20.3，? = lg20.3，则
A．? + ? < ?? < 0B．?? < ? + ? < 0
C．? + ? < 0 < ??D．?? < 0 < ? + ?
3．（2017·山东·高考）若 a>b>0，且 ab=1，则下列不等式成立的是
A．? + 1 < ? < lg (? + ?)B． ? < lg (? + ?) < ? + 1
?2?22?2?
2
C． ? + 1 < lg
?
(? + ?) < ?
2?
D． lg
1?
2(? + ?) < ? + ? < 2?
4．（2016·全国卷 I·高考）若? > ? > 1，0 < ? < 1，则
A．?? < ??B．??? < ???C．?lg?? < ?lg??D．lg?? < lg??
填空题
5．（2017·北京·高考）能够说明“设?, ?, ?是任意实数,若? > ? > ?,则? + ? > ?”是假命题的一组整数?, ?, ?
的值依次为.