第3讲 等式与不等式的性质 配套【讲】义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第3讲 等式与不等式的性质 配套【讲】义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共9页。
1. 比较大小基本方法 PAGEREF _Tc232059659 \h 2
2. 不等式的性质 PAGEREF _Tc232059660 \h 2
三、方法总结 PAGEREF _Tc232059661 \h 3
考点一：不等式性质的应用 PAGEREF _Tc232059662 \h 3
考点二：比较数(式)的大小与证明 PAGEREF _Tc232059663 \h 3
考点三：求目标式的取值范围 PAGEREF _Tc232059664 \h 3
考点四：糖水不等式 PAGEREF _Tc232059665 \h 4
考点五：不等式的综合应用 PAGEREF _Tc232059666 \h 4
四、典题精讲 PAGEREF _Tc232059667 \h 4
考点一：不等式性质的应用 PAGEREF _Tc232059668 \h 4
考点二：比较数(式)的大小与证明 PAGEREF _Tc232059669 \h 6
考点三：求目标式的取值范围 PAGEREF _Tc232059670 \h 7
考点四：糖水不等式 PAGEREF _Tc232059671 \h 8
考点五：不等式的综合应用 PAGEREF _Tc232059672 \h 9
五、高考真题 PAGEREF _Tc232059673 \h 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷（新高考Ⅰ卷）中，不等式与不等式的性质在2024年和2025年均有直接考查，且均出现在单选题的压轴位置（第8题），具有一定的综合性与难度.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：不等式的基本性质（如可加性、传递性）、代数式的大小比较.
· 命题趋势：一般不单独命制纯粹的不等式性质题，而是常融合集合运算、函数的奇偶性与单调性、抽象函数递推等模块综合出题，多以选择题形式呈现.
· 试题特点：侧重灵活变形与综合应用.在客观题中重点考查不等式的核心性质，常在乘除负数变号等易错点上设置陷阱；在解答题（如导数、数列大题）中，不等式性质常作为基础的放缩与推导工具被间接使用.
3. 备考策略
· 立足课本熟记不等式的基本性质，严格区分易错变形条件，规避乘除负数未变号、开方失误等陷阱.
· 熟练掌握比较数（式）大小的常用方法（如作差法、作商法、构造函数法、中间量过渡法），常态化进行变式刷题以巩固代数变形能力.
· 强化不等式与其他模块的融合训练，特别是在函数综合题中提炼不等关系，提升数学建模与综合运用能力.
二、知识清单
1. 比较大小基本方法
【防坑警示】 使用作商法比较大小时，必须确保参与比较的两个数（式）同号.若同为负数，作商后与 1 比较的结论与正数情况恰好相反.
2. 不等式的性质
【易错提醒】 在使用“可乘性”和“同向同正可乘性”时，必须严格确认乘数或被乘式的正负号，若符号不确定则需要分类讨论，切忌盲目相乘导致不等号方向错误.
三、方法总结
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
· 应用不等式基本性质时，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据.
· 解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题效率.
· 在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式，时刻关注变量的符号.
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
· 遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 |x|≥x 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.
· 结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
· 处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项是构造分式的巧妙技巧.
· 若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分.
考点二：比较数(式)的大小与证明
考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
· 作差法比较大小的步骤为：作差、变形、判断差式与 0 的大小、下结论.变形是关键，主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底.
· 作商法一般用来比较两个正数的大小，特别是当两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式时.步骤为：作商、变形、判断商式与 1 的大小、下结论.
· 在证明不等式时，务必在结论中明确等号成立的条件.
考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
· “同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 f(x)ba (a>b>0,m>0) 是处理真分数大小比较的捷径.
· 在对数比较大小的问题中，结合换底公式将其转化为分式，再巧妙构造同加常数的结构，能极大简化运算.
考点五：不等式的综合应用
考法9：综合应用不等式求范围或判断真假
· 处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将双变量问题转化为单变量的分段函数最值探究.
· 借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类压轴题的有效手段.
考法10：结合方程有解性求最值
· 面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程.
· 借助判别式 Δ≥0 是实现消元并求出参数范围的巧妙策略.
四、典题精讲
考点一：不等式性质的应用
考法1：利用不等式性质判断真假
例1.（2026·济宁·三模）（多选）已知 a,b,c 为实数，则（ ）
A. 若 ac2>bc2，则 a>b
B. 若 a>b,ab≠0，则 1ab>c>0，则 b+ca+c>ba
D. 若 a>0,b>0,a+b=1，则 1a+1b≥4
【答案】ACD
【思路】本题考查不等式的基本性质.判断不等式真假时，对于含有乘除运算的选项，需重点关注变量的符号及是否为零；对于分式大小比较，作差通分是通法；对于条件最值问题，可联想基本不等式或代数变形进行验证.
【解析】对于A，若 ac2>bc2，则隐含 c2>0，不等式两边同除以 c2 得 a>b，故A正确.
对于B，若 a=1,b=−1，满足 a>b 且 ab≠0，但 1a=1,1b=−1，此时 1a>1b，故B错误.
对于C，∵ b+ca+c−ba=ab+ac−ab−bca(a+c)=c(a−b)a(a+c)，由 a>b>c>0 可知 a−b>0,c>0,a(a+c)>0，∴ c(a−b)a(a+c)>0，即 b+ca+c>ba，故C正确.
对于D，∵ a>0,b>0,a+b=1，∴ 1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，当且仅当 a=b=12 时取等号，故D正确.
【规律】处理不等式真假判断题时，举反例是排除错误选项的高效手段.在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式.
考法2：结合函数单调性判断不等式真假
例2.（2025·名校联盟·二模）（多选）已知实数 a,b 满足 |a|>|b+1|，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. 2a>2b+1 B. a2>4b C. a2>b2+1 D. a2>b|b+1|
【答案】ABD
【思路】本题条件中含有绝对值，需先利用绝对值的非负性进行放缩或平方处理.将不等式两端转化为同底数指数幂或二次结构后，借助指数函数、幂函数的单调性以及作差法进行逐一判定.
【解析】∵ |a|>|b+1|≥b+1，∴ a>b+1，∴ 2a>2b+1，故A对.
∵ (b+1)2−4b=(b−1)2≥0，∴ (b+1)2≥4b，
由 a>|b+1|≥0，∴ a2>(b+1)2≥4b，故B对.
若 a=2,b=−2，满足 a>|b+1|，显然 a2>b2+1 不成立，故C错.
当 b+1≤1，则 b≤0，必有 a2>0≥b|b+1|.
当 b+1>1，则 b>0，故 a>b+1>b>0，必有 a2>b|b+1|，故D对.
【规律】遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 |x|≥x 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系.
考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
例3.（2025·福九联盟·5月联考） 若 a,b∈R，则 ab(a−b)>0 的一个充要条件是（ ）
A. aab2⇔a2b⋅1a2b2>ab2⋅1a2b2，即 1a0⇔ab>0a−b>0 或 ab0 或 bx>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选B.
法二：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，∴x=2m−2,y=3m−3,z=5m−5.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.
故选B.年份
题号与题型
分值
考查内容
2025年
第8题·单选题
5分
结合对数与指数运算比较数的大小
2024年
第8题·单选题
5分
不等式同向可加性与传递性在抽象函数递推中的应用
关系
作差法
与 0 比较
作商法
与 1 比较
a>b
a−b>0
ab>1 (a,b>0) 或 ab0⇒ac>bc；a>b,cd⇒a+c>b+d
同向同正可乘性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0,n∈N∗⇒an>bn