（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第1章 第03讲 等式与不等式的性质 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、比较大小基本方法
2、不等式的性质
（1）基本性质
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
【例题1-1】（多选）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；综上：BD一定成立.故选：BD
【例题1-2】（多选）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.故选：BC.
【变式1-1】（多选）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，， 显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；故选：ACD．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；．
【例题2-1】若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，则有，有，
即.故答案为：.
【例题2-2】如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.
所以一定成立的是②⑥.
【变式2-1】（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；当时，.
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
【例题3-1】（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.
【例题3-2】已知，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以，
则，又，
所以，，由不等式的性质得：，
则的取值范围为.故选：D.
【变式3-1】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，由，得.故选：A.
【变式3-1】已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时满足：且，，即，
进而，解得．所以或，，
令，，由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，所以故答案为：．
题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
【例题4-1】（多选）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【解析】因为，，所以， ，故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确.故选：CD.
【例题4-2】（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，故选：ABD
【变式4-1】（多选）已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．的最小值为1
【答案】BC
【解析】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．故选：BC.
【变式4-2】已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__ ．
【答案】
【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴
∴b、c是方程：x2+ax+a20的两个实数根，∴∴即∴
即a的最大值为故答案为：．
题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
【例题5-1】（多选）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.故选：ABD
【例题5-2】我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．
【答案】>
【解析】令，则，令，则，
所以，，根据题设知：.故答案为：>
【变式5-1】若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】；
【解析】空1：因为，所以可得：；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
1．（多选）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
第03讲 等式与不等式的性质 随堂检测
1．已知 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，不妨取则，此时不满足，即A错误；
易得，此时，所以B错误；对于D，无意义，所以D错误，
由指数函数单调性可得，当时，，即C正确.故选：C
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，即，因为，则，所以，，又因为，则，故，故.故选：A.
3．已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为且，所以或，
对A：若，则，若，则，A错误；
对B：∵，，∴，B错误；
对C：由或，知且，∴，C正确；
对D：当时，有，从而
当，则且，∴，D错误.故选：C
4．已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；
B选项，因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；
C选项，，因为，，故，故，C正确；D选项，不妨设，则故选：D
5．已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项，，故，所以，两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，故，所以，C成立；D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.故选：D
6.若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以，故D正确；
当，时，，但，，，故A，B，C错误.故选：D.
7．若两个正实数x，y满足，给出下列不等式：①；②；③；④．其中可能成立的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】，构造函数，所以函数在正实数集上为增函数，因为是正实数，所以由，
因此由，令，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以，
于是有，而，所以，当且仅当时取等号，当时，，由上可知，，或，故选：C
8．（多选）,则下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A：若，则无意义，故A错误；
对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定的符号，故无法判断，例如，则，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确；故选：BD.
9．（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由，得，当时，得0，即;当时，得，即，综上或，上述两种情况均可得，故选项错误;
当时，得，当时，得，故B选项正确;
令，则，，从而得，故C选项错误;
由上述论证可知恒成立，故D正确.故选：BD.
10．（多选）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由，可知，，且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，所以，C正确．
对于D，，当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D正确．故选：BCD．
11．（多选）已知，，为正实数，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，，为正实数，则有：对于A：虽然，当且仅当时，等号成立，
但无法确定与1的大小关系，则对数函数的单调性无法确定，
所以的大小关系无法确定，故A错误；
对于B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，又因为，
当且仅当，即时，等号成立，综上所述：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；
故选：BCD.
12．已知角满足，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】结合题意可知：，且：，
利用不等式的性质可知：的取值范围是.
13已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为______
【答案】
【解析】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，
又，设，则，解得，
即，且，故3b－8a的取值范围为.
故答案为：.
1．（2023•全国）不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，则，解得，故原不等式的解集为．故选：．
2．（2022•全国）不等式的解集是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【解析】不等式，即，，即，，
解得，，．故选：．
3．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故正确，错误，
，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．
4．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，令，，，，满足，但，故错误．故选：．
5．（多选）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由可得，，
令，则，，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，，故对；
，，，故错误，故选：．
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向 可加性
同向同正 可乘性
可乘方性