第04讲 基本不等式及其应用（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两个最值模型
知识点3 “1”的代换 知识点4 含负数、不等取等的处理
题型破译 (含超链接）
题型1 基本不等式成立条件辨析
【方法技巧】
【易错分析】
\l "题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数）" 题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数）
【方法技巧】
【易错分析】
"1" \l "题型3 " 题型3 "1 的代换" 求最值
【方法技巧】
【易错分析】
\l "题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到）" 题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到）
【方法技巧】
【易错分析】
\l "题型5 基本不等式实际应用" 题型5 基本不等式实际应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型6 含参恒成立问题
【方法技巧】优先使用分离参数法
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 基本不等式核心公式
1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式）
若a>0,b>0，则 ，当且仅当a=b时取等号。
一正：a,b全为正数（负数不能直接套原式）；
二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值；
三相等：等号可取（a=b在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。
1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件）
a=b取等（全体实数可用，无正数限制）；
（积≤和平方四分之一，常用放缩）；
同号： ； abb>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．e0)，求 类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。
例：a>0,b>0,a+b=1，求 。
自主检测已知正实数a，b满足2a+1b=1，则b+12a的最小值为______．
\l "_Tc25045" 知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理
x0，变形后用不等式；例
定义域限制无法a=b：放弃基本不等式，用 。
自主检测已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1a−b>1aB．1a−b0，那么以下关于式子x2+1x的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x2+1x≥2x；
（2）上式当且仅当x2=1x即x=1时，等号成立；
（3）所以当x=1时，x2+1x取得最小值2
A．以上全正确B．（1）错C．（2）错D．（3）错
例1-2已知正实数a，b满足a+b=1，则（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≤12C．1a+1b≤4D．a+b≥2
【变式训练1-1】（多选题）已知正实数a,b满足a+b=2，则（ ）
A．ab≤1B．a+b≤2C．a2+b2≤2D．1a+1b≤1
【变式训练1-2】（多选题）若6a=2，6b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1B．ab0，则下列不等式成立的是（ ）
A．1aba
C．ca>cbD．a+1c⋅1a+c≥4
题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数）
例2-1已知x>0，y>0，且3x+y+xy=9，则3x+y的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
例2-2【新考法】（2026·河北沧州二中·预测（一））已知实数m,n满足m2+n2=8m−12，则m+3n8m−12的最大值为__________.
方法技巧
拆项法（凑和为定值）：
适用： 型；
操作： ，此时 为定值。
配系数法（凑积为定值）：
适用： x(k-mx)型；
操作：，此时mx+(k-mx)=k为定值。
分离常数法：
适用： 型；
操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。
易错分析
拆项时漏加常数项，导致结果偏小；
配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小；
等号条件不在定义域内，未改用函数单调性；
混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。
【变式训练2-1·变载体】（多选题）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.其中a>0,b>0,且Eξ=0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．ab≤116B．a2+b2≥14
C．4a+1b≥18D．4a4−a+b1−b≥59
【变式训练2-2·】已知x>0，y>0，且x+2y−2xy=0，则x+2y的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练2-3】（多选题）已知正实数x,y满足：x+2y=1，下列说法正确的是（ ）
A．00，且满足4x2+1−2xy2+2y+2−y−1=1，则1x+1+1y的最小值为（ ）
A．5B．3+22C．3+42D．9
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
标准解题模板：
变形定值：将ma+nb=k化为 ；
整体乘 1：所求代数式乘以；
展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"；
用基本不等式求最值，验证等号条件。
变形技巧：若已知 ，直接将px+qy乘以即可。
易错分析 范围扩大问题
乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件；
展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误；
联立方程求解等号条件时计算错误；
多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。
【变式训练3-1】（湖南株洲市第二中学2026届高三全真模拟）已知m,n∈0,+∞，2m+n=1，则nm+1n的取值范围是（ ）
A．0,+∞B．2+1,+∞C．4,+∞D．22+1,+∞
【变式训练3-2】已知x>0，y>0且x+y=1，则1x+4y的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
【变式训练3-3】已知x，y均为正数，且x+2y=4，则2x+1y的最小值为___________
题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到）
例4-1已知函数fx=x+9x,x0在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．6,+∞B．−∞,−6C．−∞,3D．3,+∞
例4-2（多选题）下列不等式正确的是（ ）
A．6−3