2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　8.3　双曲线(含解析)

这是一份2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　8.3　双曲线(含解析)，共66页。PPT课件主要包含了3双曲线等内容，欢迎下载使用。
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考点1 双曲线的定义和标准方程考点2 双曲线的几何性质
考点1　双曲线的定义和标准方程
1.★(2021北京,5,4分)若双曲线 - =1的离心率为2,且过点( , ),则双曲线的方程为( )A.2x2-y2=1　　     B.x2- =1C.5x2-3y2=1　　    D. - =1
解析　设双曲线的半焦距为c,由题意可知 解得 则双曲线的方程为x2- =1.
2.★★★(2024天津,8,5分)双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为 ( )A. - =1　　    B. - =1C. - =1　　    D. - =1
解析　由已知,得∠F1PF2=90°.由直线PF2的斜率为2,得|PF1|=2|PF2|,又由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,从而|PF1|=4a,|PF2|=2a,故△PF1F2的面积为 |PF1|·|PF2|= ×4a×2a=4a2,则有4a2=8,a2=2,在Rt△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=20a2,则4c2=20a2,即c2=5a2,则b2=c2-a2=4a2=8,故双曲线的方程为 - =1.
3.★(2023北京,12,5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为 ,则C的方程为__________.
1.★★(2026届福建泉州质量监测,3)已知双曲线C:x2- =1的一条渐近线的方程为2x-y=0,则m=( )A.4　　    B.2　　    C. 　　    D. 
2.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,4)已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N: - =1有共同的渐近线,且点P(2,1)在双曲线M上,则双曲线M的方程为 ( )A. - =1　　     B. - =1C. - =1　　    D. - =1
3.★★(2026届广东梅州阶段检测,6)已知双曲线 -y2=1(a>0)的右焦点为F,以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O,A.若|OA|=4,则a= ( )A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.4
4.★★★(2026届湖南永州一模,8)已知两条直线l1:y=2x,l2:y= x,有一动圆M与l1交于A,B两点,与l2交于C,D两点,且|AB|=2,|CD|=4,则圆心M的轨迹为 ( )A.圆　　    B.椭圆　　    C.双曲线　　    D.抛物线
5.★★★(2026届江苏如皋期初调研,8)双曲线C: - =1的右支上一点P在第一象限,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若内切圆M的半径为1,则直线PF1的斜率为( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　双曲线C: - =1的实半轴长a=3,焦点F1(-5,0),F2(5,0),设圆M与△PF1F2的三边PF1,F1F2,PF2分别相切于点R,N,Q, 则|PF1|-|PF2|=|PR|+|RF1|-|QF2|-|PQ|=|RF1|-|QF2|=|NF1|-|NF2|=2a=6,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=10,所以|NF1|=8,|NF2|=2,则|ON|=|OF2|-|NF2|=3,则N(3,0),
因为MN⊥x轴,所以由题意得M(3,1),tan∠MF1N= = ,所以直线PF1的斜率 =tan(2∠MF1N)= = = .故选D.
6.★★(多选)(2026届山东日照校际联考,10)若方程 + =1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是 ( )A.若C为椭圆,则10)的右支上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则焦半径|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a.
8.★★(2026届江苏如皋中学第二次阶段测试,13)设F1,F2为双曲线Γ: - =1的左、右焦点,若点M在双曲线Γ上,且|MF2|=7,则|F1M|=__________.
易错警示　求双曲线的焦半径,要注意焦半径的范围,以焦点在x轴上为例,设F1是双曲线的左焦点,若M是双曲线左支上一点,则|MF1|≥c-a,若M是双曲线右支上一点,则|MF1|≥c+a.
考点2　双曲线的几何性质
1.★(2025全国一卷,3,5分)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 倍,则C的离心率为 ( )A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.2 
2.★(2024全国甲理,5,5分)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 ( )A.4　　    B.3　　    C.2　　    D. 
3.★★(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　解法一　设双曲线C的标准方程为 - =1(a>0,b>0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cs 60°,可得 = ,所以双曲线C的离心率e= = .故选A.解法二　因为|PF1|=3|PF2|,所以可设|PF2|=m,|PF1|=3m.在△PF1F2中,|F1F2|= = m,
所以双曲线C的离心率e= = = = = .故选A.
4.★★(2023全国甲理,8,5分)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
5.★★★(2023全国乙理,11,5分)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 ( )A.(1,1)　　    B.(-1,2)　　    C.(1,3)　　    D.(-1,-4)
解析　由双曲线方程x2- =1知a=1,b=3,则其渐近线方程为y=±3x.观察选项知,四个点均在双曲线外,∴点A,B分别在双曲线的两支上,∴-30)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M = ,则 ( )A.∠A1MA2= 　　    B.|MA1|=2|MA2|C.C的离心率为 　　    D.当a= 时,四边形NA1MA2的面积为8 
    ACD    
解析　不妨设以F1F2为直径的圆与渐近线y= x交于M,N.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,A1(-a,0),A2(a,0).对于A,由|OA1|=|OA2|,|OM|=|ON|,得四边形MA1NA2是平行四边形,则∠NA1M+∠A1MA2=π,又∠NA1M= ,所以∠A1MA2= ,A正确;对于B,由 得  不妨取M(a,b),又A1(-a,0),A2(a,0),则MA2⊥A1A2,
所以cs∠A1MA2= ,即cs = ,所以|MA2|= |MA1|,B错误;对于C,在Rt△MA1A2中,∠A1MA2= ,|MA2|=b,|A1A2|=2a,所以tan = ,则 =2 ,所以离心率e= = = = ,C正确;对于D,当a= 时,由C知 =2 ,所以b=2 ,则四边形NA1MA2的面积为2× |A1A2|·|MA2|=2 ×2 =8 ,D正确.故选ACD.
7.★★(2024新课标Ⅰ,12,5分)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为__________.
解析　如图所示,在△AF1F2中,|F1A|=13,|AF2|= |AB|=5,∠AF2F1=90°, ∴|F1F2|= =12,设双曲线的焦距为2c,则2c=12,c=6.又2a=|F1A|-|F2A|=13-5=8,∴a=4,因此C的离心率e= = .
8.★★(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为____________,_____________.
9.★★(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为 x+my=0,则C的焦距为_________.
10.★★★(2022全国甲文,15,5分)记双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:______________________________.
    2(答案不唯一,在(1, ]范围内取值均
11.★★★(2023新课标Ⅰ,16,5分)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上, ⊥ , =-  ,则C的离心率为_________.
又|F1F2|=2c,cs∠F1AB= = ,∴ 
= = ,整理得 - = ,即e2= .∵e>1,∴e= .
1.★(2026届湖北武汉新起点摸底考,3)已知双曲线C: - =1,则C的右焦点到其渐近线的距离为 ( )A.2　　    B.6　　    C.2 　　    D.4 
2.★★(2026届安徽摸底大联考,4)已知双曲线C: -x2=1(m>0)的上、下焦点分别为F1,F2,A为C上一点,且||AF1|-|AF2||=2 ,则双曲线C的渐近线方程为 ( )A.y=± x　　    B.y=± xC.y=±2x　　    D.y=±2 x
3.★★(2026届广东肇庆广宁中学调研,3)若双曲线C: - =1(a>0)与椭圆 +y2=1有公共焦点,则双曲线C的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
4.★★(2026届广东深圳中学摸底,7)已知F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则该双曲线的离心率是 ( )A. 　　    B. 　　    C. +1　　    D.4+2 
解析　解法一　代数法　因为|F1F2|=2c,所以正三角形MF1F2的边长为2c.所以点M在y轴上,且M(0,± c).不妨设F1为左焦点,所以MF1的中点坐标为 .因为MF1的中点在双曲线上,所以 - =1.化简得e4-8e2+4=0,解得e2=4+2 或e2=4-2 0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△ABF1的周长为10a,则双曲线离心率的取值范围为 ( )A. 　　    B. C. 　　     D. 
解析　根据双曲线定义知△AF1B的周长为4a+2|AB|,而|AB|≥ ,【AB⊥x轴时最短】所以4a+2|AB|≥4a+ ,因为△AF1B的周长为10a,所以4a+ ≤10a,即2b2≤3a2,所以2(c2-a2)≤3a2,解得e≤ ,又e>1,所以双曲线离心率的取值范围是 .故选D.
6.★★★(创新知识交汇)(2025届湖南长沙长郡中学测试,4)将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉的函数图象.如反比例函数y= ,“双勾”函数y=x+ ,“飘带”函数y=x- 等,它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到.现将双曲线C: - =1(a>0,b>0)绕原点O旋转适当的角度后,得到函数y= - 的图象.则双曲线C的离心率e为 ( )A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.4
解析　如图所示,函数y= - 的图象的两条渐近线为x=0和y= x,【思路点拨:由函数y= - 的定义域知,x=0是一条渐近线;当x无限增大时,y= - 无限接近y= ,得到另一条渐近线y= ,结合图形得到实轴所在直线,进而解决问题】 因此实轴在直线y=- x上,则 =tan 60°= ,e= =2,故选C.
7.★★★(2026届河北冀州中学开学考,8)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是双曲线C右支上一点,若 =2 , · =0,且|F2B|=a,则双曲线C的离心率为( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　如图,由 =2 ,|F2B|=a,得|F2A|=|AB|= , 由双曲线的定义知|F1A|=2a+|F2A|=2a+ a= a,由 · =0得F1B⊥F2B,则在△ABF1中,|BF1|2=|AF1|2-|AB|2= a2- a2=6a2,在△BF1F2中,|F1F2|2=|BF1|2+ ,
即4c2=6a2+a2=7a2,可得e= = .故选A.
8.★★★(新定义理解)(2026届湖南名校联盟第一次联考,6)若双曲线C1与C2关于直线y=x对称,且C1的离心率e1与C2的离心率e2之积为常数m(m>1),则称C1与C2互为m型双曲线.已知双曲线E: - =1(a>0,b>0),则E的3型双曲线的渐近线方程为( )A.y=±2x　　    B.y=± xC.y=±x　　     D.y=± x
9.★★★(2026届浙江温州一模,7)设F1,F2分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若|F1A|=|AB|,则双曲线的离心率可以是 ( )A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.5
10.★★★(2026届湖北孝感高中月考,8)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点分别为F,A,过点F倾斜角为 的直线交C的两条渐近线分别于点M,N.若△AMN为等边三角形,则双曲线C的渐近线方程是 ( )A.y=± x　　    B.y=± xC.y=± x　　    D.y=± x
解析　设点M在第一象限.由题意可得A(a,0),F(-c,0),∠MFO= ,△AMN是等边三角形, 则∠AMN= ,故∠MAF=π- - = ,从而AM⊥x轴,xM=a,由点M在直线y= x上得M(a,b).在Rt△AMF中, = = ,
结合a2+b2=c2可得 = ,所以双曲线C的渐近线方程是y=± x,故选C.
11.★★★★(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若tan∠F1BF2= ,则双曲线的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　解法一　设半焦距为c,则F1(-c,0),取渐近线y=- x,则F1到渐近线y=- x的距离为d= = =b,所以cs∠BF1F2= ,sin∠BF1F2= , 因为tan∠F1BF2= >0,∠F1BF2∈(0,π),所以∠F1BF2∈ ,sin∠F1BF2= cs∠F1BF2,
因为sin2∠F1BF2+cs2∠F1BF2=1,所以 cs2∠F1BF2+cs2∠F1BF2=1,得cs∠F1BF2= ,则sin∠F1BF2= ,在△BF1F2中,由正弦定理得 = ,即 = ,得|BF2|= a,由双曲线的定义知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|= a,在△BF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1||BF2|·cs∠F1BF2,
即4c2= + -2· a· a· ,整理得c2= a2,即 = ,所以离心率为e= = .故选A.解法二　取渐近线y= x,设渐近线y= x与x轴的夹角为θ,则tan θ= ,依题意得sin∠BF1F2=cs θ= = ,因此cs∠BF1F2= ,由tan∠F1BF2= 得,sin∠F1BF2= ,cs∠F1BF2= ,从而sin∠BF2F1=sin(∠F1BF2+∠BF1F2)= · + · = ,【思路探究:在焦点三角形中,已知一角(如∠F1BF2),用余弦定理结合双曲线定义求解;
已知两角(事实是三角)用正弦定理结合双曲线定义求解】在△F1BF2中, = = ,因此 = ,所以2c× =2a× ,化简得5b=6a,因此25(c2-a2)=36a2,即25c2=61a2,所以离心率为e= = ,故选A.
12.★★★(多选)(2026届广东八校联盟质检,10)已知点A(1,2)在双曲线C: - =1(a>0,b>0)上,则下列结论正确的是 ( )A.C的实轴长小于2B.C的渐近线方程可能为y=± xC.C的离心率大于 D.C的焦距不可能为4
解析　将A(1,2)代入 - =1得 - =1.对于A, = +1>1,故a2