2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题(含解析)

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高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题
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类型1 圆锥曲线中的最值问题类型2 圆锥曲线中的范围问题
类型1　圆锥曲线中的最值问题
1.★★★★(2023全国甲理,20,12分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4 .(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且 · =0,求△MFN面积的最小值.
解析    (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去x得y2-4py+2p=0,∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p>0,解得p> 或p0,即m2+t>0,由根与系数的关系得y3+y4=4m,y3y4=-4t,∵ · =0,∴(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+t-1)(my4+t-1)+y3y4=(m2+1)y3y4+m(t-1)(y3+y4)+(t-1)2=(m2+1)(-4t)+m(t-1)·4m+(t-1)2=0,即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.设F到MN的距离为d,则d= ,又|MN|= |y3-y4|= · 
= · =4 · ,∴S△MFN= |MN|·d= ×4 · · =2 ·|t-1|= ·|t-1|= |t-1|=(t-1)2.∵4m2=t2-6t+1≥0,∴t≤3-2 或t≥3+2 ,∴当且仅当t=3-2 时,S△MFN取得最小值12-8 .
即△MFN面积的最小值为12-8 .
2.★★★★(2026届河南部分学校质检,18)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的焦距为2,短轴长为2 ,A为E在第一象限上的一点,过点A且与E相切的直线分别交y轴、x轴于B,C两点,O为坐标原点.(1)求E的标准方程;(2)设点D ,求|AD|的最小值;(3)证明:△OBC的面积不小于2 .
解析    (1)由题意得2c=2,2b=2 ,则c=1,b= ,则a= =2,从而E的标准方程为 + =1.(2)设A(x0,y0),x0>0,y0>0,则 + =1, =3-  ,又D ,所以|AD|= = = = ,当x0=1时,|AD|min= .
(3)证明:因为A在第一象限,则由椭圆方程可得y= · ,y'=- · . 设A(x0,y0),x0>0,y0>0,则在A处的切线斜率为y' =- · ,又 + =1,则 =1- ,则y' =- · .则切线方程为y=- · (x-x0)+y0.【思路探究:△OBC的面积由点A(x0,y0)的变化而变化,建立△OBC的面积关于x0,y0的关
系式,结合椭圆方程利用基本不等式证明不等关系】令x=0,得y= = ,即B ,令y=0,得x= = ,即C .则S△OBC= |OC||OB|= · · = .又 + =1,因此1= + ≥2 = ,即x0y0≤ ,当且仅当 = 时取等号,所以S△OBC= ≥2 ,即△OBC的面积不小于2 .
3.★★★★(2025全国一卷,18,17分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,下顶点为A,右顶点为B,|AB|= .(1)求C的方程;(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
解析    (1)由题意得e= = ,且|AB|= = ,a2=b2+c2,解得a=3,b=1,c=2 ,∴椭圆C的方程为 +y2=1.(2)(i)∵点R在射线AP上,A(0,-1),∴设 =λ =λ(m,n+1),则| || |=λ| |2=λ[m2+(n+1)2]=3,
∴λ= ,∴ =  ,  ,∴R .(ii)由(i),知kOR= = = =3kOP,化简得n2+m2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18.∴P(m,n)在以D(0,-4)为圆心,3 为半径的圆上.则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3 .设Q(x,y),其中-1≤y≤1.
则|DQ|2=x2+(y+4)2=9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消x)=-8y2+8y+25=-8 +27,当y= 时,|DQ|max=3 .则|PQ|max=3 +3 .
类型2　圆锥曲线中的范围问题
1.★★★★★(2023新课标Ⅰ,22,12分)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点 的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3 .
解析    (1)设P(x,y),由题意得 =|y|,整理得x2-y+ =0,因此W的方程为y=x2+ .(2)证明:不妨设A,B,C三点在W上,如图所示. 设B ,A ,C ,AB的斜率为k,则直线BC的斜率为- (k≠0),直线AB,BC的方程分别为y- =k(x-x0),y- =- (x-x0),即直线AB,BC的方程分
别为y=kx-kx0+ + ,y=- + + + ,联立直线AB与抛物线W的方程可得 消去y得x2-kx+kx0- =0,则Δ=k2-4kx0+4 =(k-2x0)2>0,k≠2x0.由根与系数的关系得x0+x1=k,x0·x1=kx0- ,∴|AB|= ·|x1-x0|= · = |k-2x0|.同理,联立直线BC与抛物线W的方程,并消去y得x2+ x- x0- =0,且|BC|= ·|x2-x0|= · =  ,
∴|AB|+|BC|= |k-2x0|+  .由对称性不妨设0