2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　8.1　直线和圆(含解析)

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考点1 直线和圆的方程考点2 直线和圆、圆和圆的位置关系
考点1　直线和圆的方程
1.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为_______________________.
    (x-1)2+(y+1)2=5    
2.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________________________________________________________________________________.
(写出一个即可)    
解析　若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立 解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r= = .所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5, + = , +(y-
1.★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为 ( )A.-1或2　　    B.0或2　　    C.2　　    D.-1
解析　由题意知a·a-(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1,经过验证可得a=2时两条直线重合,舍去,∴a=-1.故选D.
易错警示　解决两直线平行问题时,要对结果进行检验,排除两直线重合的情况.
2.★★(2025届重庆部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 ( )A. 　　    B.1　　    C. 　　    D. 
解析　解法一　代数法　因为两直线交于点(1,1),则1+1+C=0,且A+B+C=0,则C=-2,A+B=2.原点到直线l2的距离d= = = ,易知A2-2A+2=(A-1)2+1≥1,则d≤ ,当且仅当A=1时,d取最大值 ,故选A.解法二　数形结合法　如图所示,l2恒过点E(1,1),则当OE⊥l2时,原点O到直线l2距离有最大值|OE|,|OE|= = .故选A.
3.★★(2026届浙江杭州一模,7)若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C的面积为( )A.16π　　    B.25π　　    C.36π　　    D.49π
4.★★★(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为( )A. ,3x+2y-5=0　　    B. ,3x+2y-5=0C. ,2x-3y+1=0　　    D. ,2x-3y+1=0
5.★★★(2026届广东八校联盟质检,7)P是圆(x-a)2+(y-a2)2=1上的动点,Q是直线y=x-2上的动点,则|PQ|的最小值为 ( )A. -1　　    B. 　　    C. -1　　    D. 
6.★★★★(2026届湖北武汉质检,8)实数a,b,c,d满足cd=a2+b2=2,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.3-2 　　    B.6-4 　　    C.2- 　　    D.2+ 
又cd=2,故c2+d2≥2 =4,当且仅当c=d= 或c=d=- 时等号成立,
所以|OQ|= ≥2,当且仅当c=d= 或c=d=- 时等号成立,因此|PQ|≥2- ,当且仅当 或 时等号成立,所以当 或 时,(a-c)2+(b-d)2取最小值,最小值为(2- )2=6-4 .故选B.
7.★★★★(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　∵x2+y2+x-2=0,∴ +y2= .∴P点轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,记为圆C,设在x轴上存在定点M(a,0),使得圆上任意一点P(x,y),满足|PB|=3|PM|,则 =3 ,化简得8(x2+y2)-(18a-8)x+(9a2-16)=0, 把x2+y2=2-x代入得18ax-9a2=0,
要使等式恒成立,则a=0.∴存在定点M(0,0),使圆上任意一点P满足|PB|=3|PM|,则3|AP|+|BP|=3|AP|+3|MP|=3(|AP|+|MP|)≥3|AM|,当A,P,M三点共线(A,M位于P两侧)时,等号成立.又A点为直线3x+4y-7=0上一动点,则|AM|的最小值即为点M到直线3x+4y-7=0的距离,M(0,0)到直线3x+4y-7=0的距离d= = ,则|AM|min= .故3|AP|+|BP|≥3|AM|≥3d= .故选D.
8.★★(2026届四川广安联考,12)过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是_______________.
    x+y-2=0    
由两直线垂直得 =-1,解得λ=- ,因此所求直线方程为- x- y + =0,即x+y-2=0.
9.★★(2026届河北邢台名校开学联考,12)与圆x2+y2-2y=0关于直线y=x对称的圆的标准方程为___________________.
    (x-1)2+y2=1    
10.★★(2026届上海交大附中月考,9)在直角坐标平面xOy内有一直角△ABC,C= ,顶点A的坐标为(2,1),BC所在直线方程为2x+y+1=0,则顶点C的坐标为_________.
解析　因为C= ,所以AC⊥BC,因为BC所在直线方程为2x+y+1=0,A(2,1),因此AC所在直线方程为y-1= (x-2),即x-2y=0,联立得 解得 所以顶点C的坐标为 .
11.★★★(2026届江苏如皋中学阶段测试,15)已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由题意得 =1,解得k=- ,∴直线l的方程为y=- x,即3x+4y=0.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
考点2　直线和圆、圆和圆的位置关系
1.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )A.1　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r= ,设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示. 易得|CA|= ,|PC|=2 ,|AP|= ,∴cs = ,sin = 【α是∠APB的补角】,∴sin α=2sin cs = ,故选B.
2.★★(2021北京,9,4分)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m= ( )A.±1　　    B.± 　　    C.± 　　    D.±2
3.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是( )A.(0,1)　　    B.(1,3)　　    C.(3,+∞)　　    D.(0,+∞)
4.★★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( )A.1+ 　　    B.4　　    C.1+3 　　    D.7
一题多解　由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cs θ,y=1+3sin θ,θ∈[0,2π),∴x-y=2+3cs θ-1-3sin θ=1+3(cs θ-sin θ)=1+3 cs ,∵θ+ ∈ ,∴cs ∈[-1,1],∴(x-y)max=1+3 ,故选C.
5.★★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( )A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.2 
解析　由题知b= ,∴ax+ y+c=0,∴a + (y+2)=0,∴ 解得 ∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2),将x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5.
当过圆心(0,-2)与定点(1,-2)的直线与直线AB垂直时,|AB|最小,且|AB|min=2 =4.故选C.
6.★★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|= ,则 · 的最大值为 ( )A. + 　　    B. + 　　    C.1+ 　　    D.2+ 
7.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 ( )A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
    ABD    
解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d= ,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d= =|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d= 4,∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,∴点P到直线AB的距离的取值范围为 ,∵ -4∈(0,1), +4∈(8,9),∴A正确,B错误.
 过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为 ,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|= = =3 ,故选项C,D均正确.故选ACD.
9.★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为_________.
10.★★(2021天津,12,5分)若斜率为 的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=_________.
11.★★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为 ”的m的一个值:______________________________.
12.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:____________________________________.
    x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)    
1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得 =1,求出k= ,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公
切线l3与l垂直,设l3的方程为y=- x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得 =1,∴m= 或- .当m=- 时,y=- x- ,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m= ,则直线l3的方程为3x+4y-5=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.
13.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是_________.
解析　设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵kAB= ,∴kl=- .显然点B(0,a)在直线l上,∴直线l的方程为y=- x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点,∴圆心(-3,-2)到直线l的距离d≤r,即 ≤1,即6a2-11a+3≤0,解得 ≤a≤ ,
∴实数a的取值范围为 .
14.★★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.
解析    (1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,± ),∵OP⊥OQ,∴ · =1-2p=0,∴p= ,∴抛物线C的方程为y2=x.∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)直线A2A3与☉M相切.理由如下:设A1( ,y0),A2( ,y1),A3( ,y2),
∵直线A1A2,A1A3均与☉M相切,∴y0≠±1,y1≠±1,y2≠±1,由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0= ·(x- ),整理得x-(y0+y1)·y+y0y1=0,由于直线A1A2与☉M相切,∴M到直线A1A2的距离d= =1,整理得( -1) +2y0y1+3- =0,①同理可得,( -1) +2y0y2+3- =0.②观察①②,得y1,y2是关于y的一元二次方程( -1)·y2+2y0y+3- =0的两根,
∴ (*)同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,则点M(2,0)到直线A2A3的距离d '= ,把(*)代入,得d '= = 
= = =1.∴直线A2A3与☉M相切.
1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,2)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则直线l与圆C的位置关系是 ( )A.相离　　    B.相切　　    C.相交　　    D.不确定
解析　由题意可得直线l:a(x+1)+2y+4=0过定点A(-1,-2).因为(-1)2+(-2)2+2×(-2)-2=-1a,解得a