2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第八章8.7双曲线（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第八章8.7双曲线（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·八省联考)双曲线x2－y29＝1的渐近线方程为( )
A.y＝±xB.y＝±2x
C.y＝±3xD.y＝±4x
2.“m>2”是“方程x22-m+y2m+1=1表示双曲线”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若动圆过定点A(2，0)，且和定圆C：(x+2)2+y2=1外切，则动圆圆心P的轨迹方程为( )
A.x2-y23=1x≥12
B.x2-y23=1x≤-12
C.4x2-4y215=1x≤-12
D.4x2-4y215=1x≥12
4.(2025·天津市河西区模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|=3|OM|，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.6C.22D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·南通调研)已知双曲线C：x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F，直线l：x+by=0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A.C的虚轴长为22
B.C的离心率为6
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于-22
6.(2025·泉州模拟)已知双曲线C：y2a2-x2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=33x，上、下焦点分别为F1，F2，则 ( )
A.双曲线C的方程为y23-x2=1
B.双曲线C的离心率为2
C.双曲线C上的点到焦点的最小距离为33
D.若点M(22，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 .
8.(2024·抚顺模拟)已知双曲线C：x22-y24=1的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF1|= .
四、解答题(共28分)
9.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a=25，经过点A(-5，2)；(6分)
(2)过点P(-2，2)，且与椭圆x29+y24=1有相同焦点的双曲线方程.(7分)
10.(15分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；(6分)
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值.(9分)
每小题5分，共10分
11.(2024·天津)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.x28-y22=1B.x28-y24=1
C.x22-y28=1D.x24-y28=1
12.已知点P是双曲线x216-y220=1右支上的一点，点A，B分别是圆(x+6)2+y2=4和圆(x-6)2+y2=1上的点.则|PA|-|PB|的最小值为 .
答案精析
1.C
2.B [因为方程x22-m+y2m+1＝1表示双曲线，所以(2－m)(m+1)2”是“方程x22-m+y2m+1＝1表示双曲线”的充分不必要条件.]
3.D [定圆C的半径为1，圆心为C(－2，0)，与A(2，0)关于原点对称.设动圆的半径为r，
则|PA|＝r，由两圆外切可得
|PC|＝1+r，
所以|PC|－|PA|＝10，b>0)，
则a＝12，c＝2，b2＝c2－a2＝154，
所以动圆圆心P的轨迹方程为
4x2－4y215＝1x≥12.]
4.B [由题意得F1(－c，0)，
|MF1|＝b，由勾股定理得|OM|＝a，
因为MF1垂直于渐近线，
所以cs∠MOF1＝ac，
因为|MF2|＝3|OM|，
所以|MF2|＝3a，
而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得
cs∠MOF2＝a2+c2-9a22ac，
因为∠MOF1+∠MOF2＝π，
所以a2+c2-9a22ac+ac＝0，
化简得c2＝6a2，
所以c＝6a，
故e＝ca＝6.]
5.AD [双曲线C：x24－y2b2＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意得－1b＝－b2，解得b＝2，
对于A，C的虚轴长为2b＝22，A正确；
对于B，C的离心率e＝a2+b2a＝62，B错误；
对于C，点F(6，0)到直线l：x+2y＝0的距离为612+(2)2＝2，
即|PF|的最小值为2，C错误；
对于D，直线l：x+2y＝0的斜率为－22，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－22，D正确.]
6.BC [对于A，双曲线C：y2a2－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝33，于是双曲线C的方程为
y213－x2＝1，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率
e＝1+113＝2，故B正确；
对于C，c＝1+13＝233，双曲线C上的点到焦点的最小距离为c－a＝233－33＝33，故C正确；
对于D，
F10，233，
F20，-233，由点M(22，t)在双曲线上支上，得t＝3，
S△MF1F2＝12|F1F2|·22＝463，
△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|＝533+733+433
＝1633，
设△MF1F2的内切圆半径为r，
则S△MF1F2＝12×1633r＝463，
解得r＝22，
因此△MF1F2的内切圆面积为12π，故D错误.]
7.32
解析 |F1A|＝13，
|AF2|＝12|AB|＝5，且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝|F1A|2-AF2|2＝12.
由双曲线定义可得
2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝ca＝32.
8.23
解析 依题意，a＝2，b＝2，c＝6，
∴|PF2|＝b＝2，|OF2|＝c＝6(O为坐标原点)，
∴cs∠PF2F1＝PF2|OF2|＝26，
在△PF2F1中，
由余弦定理得|PF1|＝
PF2|2+|F1F2|2-2PF2|·|F1F2|cs∠PF2F1
＝4+24-2×2×26×26
＝23.
9.解 (1)因为a＝25，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为
x220－y2b2＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得2520－22b2＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为x220－y216＝1.
(2)在椭圆x29+y24＝1中，
c＝9-4＝5，
所以椭圆的焦点坐标为
F1(－5，0)，F2(5，0)，
设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2+b2＝c2＝5，
点P(－2，2)代入双曲线方程，
可得2a2－4b2＝1，
联立2a2-4b2＝1,a2+b2＝5,解得a2＝1,b2＝4,
所以双曲线的标准方程为x2－y24＝1.
10.解 (1)x2a2－y2b2＝1的渐近线的方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离
d＝|bc|b2+a2＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为x29－y216＝1.
(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|+|PF|＝|PA|+|PF0|+2a＝|PA|+|PF0|+6，
当F0，P，A三点共线时，
|PA|+|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|+|PF|的最小值为
17+6＝23.
11.C [由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝PF1|PF2|＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
S△PF1F2＝12|PF1||PF2|
＝12×4a×2a＝4a2，
又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2
＝(4a)2+(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
又a2+b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为x22－y28＝1.]
12.5
解析 由双曲线x216－y220＝1可知，
a＝4，b＝25，c＝a2+b2＝6，
且圆(x+6)2+y2＝4的圆心为
F1(－6，0)，半径r1＝2，
圆(x－6)2+y2＝1的圆心为
F2(6，0)，半径r2＝1，
由圆的性质可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，
|PB|≤|PF2|+r2＝|PF2|+1，
可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|+1)
＝|PF1|－|PF2|－3，
可知F1(－6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
可得|PA|－|PB|
≥|PF1|－|PF2|－3＝5，
所以|PA|－|PB|的最小值为5.