2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　8.2　椭圆(含解析)

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目 录 CONTENTS
考点1 椭圆的定义和标准方程考点2 椭圆的几何性质
考点1　椭圆的定义和标准方程
1.★★(2024新课标Ⅱ,5,5分)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )A. + =1(y>0)　　    B. + =1(y>0)C. + =1(y>0)　　    D. + =1(y>0)
解析　设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x1,y1)(y1>0),则P'(x1,0).又点M为线段PP'的中点,∴ 则 又点P在曲线C上,则 + =16,所以x2+(2y)2=16,即 + =1(y>0),故选A.
小题速解　点M的轨迹可看作将位于x轴上方的半圆压缩而成,即各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,故选A.
2.★★(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )A.13　　    B.12　　    C.9　　     D.6
3.★★★(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若 · =-1,则C的方程为 ( )A. + =1　　    B. + =1　　    C. + =1　　    D. +y2=1
4.★★★(2023全国甲文,7,5分)设F1,F2为椭圆C: +y2=1的两个焦点,点P在C上,若 · =0,则|PF1|·|PF2|= ( )A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.5
一题多解　由题意可知a2=5,b2=1,∵ · =0,∴∠F1PF2=90°,∴ =b2tan =1,又 = |PF1||PF2|,∴|PF1||PF2|=2,故选B.
5.★★★★(2023全国甲理,12,5分)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2= ,则|OP|= ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
代入椭圆方程得 = ,∴|OP|= = = ,故选B.
1.★★(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 ( ) A. + =1　　    B. + =1C. + =1　　    D. + =1
解析　由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知PF⊥PF', 在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|= = =8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-25=24,∴椭圆C的方程为 + =1.
2.★★★(2026届重庆部分校月考,7)已知P为椭圆M: + =1上一点,椭圆N: +y2=1的四个顶点为A,B,C,D,且|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=12,则 ( )A.点P必在椭圆 + =1上B.点P必在椭圆 + =1上C.点P必在椭圆x2+ =1上D.点P必在椭圆 + =1上
解析　椭圆N: +y2=1的四个顶点为A,B,C,D,不妨设A(-2,0),B(2,0),C(0,-1),D(0,1),因为椭圆M: + =1的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),所以A,B为椭圆M的两个焦点,则|PA|+|PB|=2 =6,所以|PC|+|PD|=12-6=6>|CD|,因此点P在以C,D为焦点,长轴长为6的椭圆上.设该椭圆的方程为 + =1(a>b>0),依题意,2a=6,2c=2,则b= =2 ,故点P必在椭圆 + =1上.故选A.
3.★★★(2026届重庆育才中学校质量监测,8)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F和F',点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则△PFF'的面积为 ( )A. 　　    B.2 　　    C. 　　    D. 
解析　因为椭圆的方程为 + =1, 所以a=3,b= ,c= =2,又线段PF的中点Q在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,所以∠FQF'=90°,所以F'Q垂直平分线段PF,所以|FF'|=|PF'|=4,又因为|PF|+|PF'|=6,所以|PF|=2,|QF|=1,在Rt△FQF'中,|QF'|= = ,
于是△PFF'的面积为 |PF|·|QF'|= ×2× = .故选C.
4.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,7)如图,椭圆Γ: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 ( ) A. 　　    B. C. 　　     D. 
解析　设点C关于原点的对称点为E,由椭圆Γ的对称性,得点E在椭圆上,连接CE,CF1,EF2, 由CE,F1F2互相平分,得四边形CF1EF2为平行四边形,则CF2∥EF1且|CF2|=|EF1|,又AB∥CF2且F1∈AB,则点B与点E重合,因此|AF1|+|CF2|=|AB|,而过椭圆 + =1(a>b>0)焦点的最短弦长为通径长 ,最长弦长为实轴长2a,
椭圆 + =1的通径长为 ,实轴长为2 ,由AB∥CD知,线段AB与椭圆实轴不重合,所以|AF1|+|CF2|=|AB|∈ .故选C.
5.★★★(2026届黑龙江开学联考,8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于点M,N),△AF1B的周长为4 ,且直线AM与AN的斜率之积为- ,则椭圆C的标准方程为( )A. + =1　　    B. + =1C. + =1　　    D. + =1
解析　由△AF1B的周长为4 及椭圆的定义得4a=4 ,解得a= ,所以M(- ,0),N( ,0),设A(x1,y1),则 + =1,可得 =b2 ,则kAM·kAN= · = = =- =- ,解得b2=2,所以椭圆C的方程为 + =1,故选A.
归纳总结　椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点为M(-a,0),N(a,0),P(x1,y1)是椭圆上一点,则kPM·kPN= · = = =- .
6.★★★★(2025届河北武邑中学期末,8)已知O为坐标原点,椭圆E: + =1(a>b>0),平行四边形OACB的三个顶点A,B,C在椭圆E上,若直线AB和OC的斜率乘积为- ,四边形OACB的面积为 ,则椭圆E的方程为 ( )A. + =1　　    B. + =1C. + =1　　    D. +y2=1
解析　设A(acs α,bsin α),B(acs β,bsin β),由题意可知 = + ,所以C(acs α+acs β,bsin α+bsin β),将C点坐标代入椭圆方程得(cs α+cs β)2+(sin α+sin β)2=1,即2+2(cs αcs β+sin αsin β)=1⇒cs(α-β)=- ,则|sin(α-β)|= ,所以四边形OACB的面积为S=2S△AOB=|acs α·bsin β-acs β·bsin α|=ab·|sin(α-β)|,即 ab= ,则ab=3 ①,由直线AB和OC的斜率乘积为- 知 · = · = ·
 =- =- ,所以 = ②,由①②得a2=6,b2=3.故椭圆E的方程为 + =1.故选B.
= = ,∴S△AOB= | |·| |sin∠AOB= |x1y2-y1x2|.
7.★★★(多选)(2026届浙江宁波六校联盟期中联考,10)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,长轴长为6,F,F'分别是椭圆的左、右焦点,A(1,1)是一个定点,P是椭圆E上的动点,则下列说法正确的是 ( )A.焦距为4B.椭圆E的标准方程为 + =1C.|AF'|= D.|PA|+|PF|的最大值为6+ 
    ACD    
解析　由题意得2a=6,且e= = ,解得a=3,c=2,则2c=4,b= = = ,所以焦距为4,椭圆E的标准方程为 + =1,故A正确,B错误.因为A(1,1),F'(2,0),所以|AF'|= = ,故C正确.|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|≤2a+|AF'|=6+ ,当且仅当点P是AF'的延长线与E的交点时,等号成立,则|PA|+|PF|的最大值为6+ ,故D正确.故选ACD.
8.★★★(多选)(2026届河南顶级名校联盟诊断测试,10)已知椭圆C: + =1的左、右焦点为F1,F2,上顶点为M,直线l经过左焦点F1与C交于A,B两点,与y轴交于点N.则下列判断正确的是 ( )A.△ABF2的周长为4B.△MF1F2为等边三角形C.|AF1|的最小值为1D.存在点N,使得 = = 
解析　椭圆C: + =1的长半轴长a=2,短半轴长b= ,半焦距c=1,直线l过点F1(-1,0).对于A,△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,因此A错误;对于B,点M(0, ),则|MF2|=|MF1|=2=|F1F2|,则△MF1F2为等边三角形,因此B正确;对于C,当且仅当A为椭圆左顶点时,|AF1|取得最小值a-c=1,因此C正确; 对于D,假设存在点N,令N(0,y0),由 = = ,得A(-2,-y0),B(1,2y0),
则 显然此方程组无解,即不存在点N,使得 = = ,因此D错误.故选BC.
9.★★★(2025届河北邯郸第一次调研,17)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,两曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2的面积为 .(1)求椭圆C的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A,若 = ,求l的方程.
解析    (1)由抛物线方程y2=4x知F2(1,0),所以F1(-1,0).设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则 = ×|F1F2|×y0=y0= ,又点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,所以 =4x0.解得x0= ,即P ,根据椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|= + =4,解得a=2,所以b= = ,
所以椭圆C的方程为 + =1.(2)因为 = ,所以AF1∥PF2,又 = =-2 ,所以直线AF1:y=-2 (x+1),联立 消去y得,33x2+64x+28=0,解得x=- 或x=- ,所以A 或A .
可求得直线l的方程为 x-y=0或 x-16y+10 =0.
考点2　椭圆的几何性质
1.★(2023新课标Ⅰ,5,5分)设椭圆C1: +y2=1(a>1),C2: +y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2= e1,则a= ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
2.★★★(2023新课标Ⅱ,5,5分)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= ( )A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.- 
3.★★★(2022全国甲理,10,5分)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为 ,则C的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
4.★★★(2021全国乙理,11,5分)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　由题意知,B(0,b),设P(x0,y0),则 + =1,则 =a2 .∴|PB|2= +(y0-b)2=a2 + -2by0+b2=-  -2by0+a2+b2,∵C上任意一点P都满足|PB|≤2b,y0∈[-b,b],∴当y0=-b时,|PB|2取得最大值,∴- ≤-b,【结合二次函数性质可得】即b2≥c2,又a2=b2+c2,∴a2-c2≥c2,即a2≥2c2,∴e2≤ ,
又∵e∈(0,1),∴e∈ ,故选C.
5.★★★(2021浙江,16,6分)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是_________,椭圆的离心率是_________.
解析　设切点为B,圆心为A,连接AB,如图,易知|F1A|= ,|F1F2|=2c,|BF1|= ,|AB|=c,|PF2|= .∴直线PF1的斜率k=tan∠PF1F2= = = . 在△PF1F2中,tan∠PF1F2= = ,即 b2=4ac⇒ (a2-c2)=4ac,方程两边同时除以a2,整理可得 e2+4e- =0,
解得e= 或e=- (舍),∴e= .
6.★★★(2021全国甲,文16,理15,5分)已知F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为_________.
解得mn=8,所以四边形PF1QF2的面积为8.解法二　由椭圆C: + =1可知|F1F2|=4 ,由P、Q为C上关于坐标原点对称的两个点,且|PQ|=|F1F2|,得|PO|=|QO|=2 ,所以P、Q既在椭圆 + =1上,又在圆x2+y2=12上,不妨设点P在第一象限,则由 可得P ,所以由对称性,可得四边形PF1QF2的面积S=2 =2× ×|F1F2|×|yP|=2× ×4 × =8.解法三　由椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|知四边形PF1QF2是矩形,且∠F1PF2= ,由椭圆焦
点三角形的面积公式可得 =b2tan =b2=4,所以四边形PF1QF2的面积S=2 =8.
7.★★★★(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为 .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是__________.
∴A(0, c),F2(c,0),F1(-c,0),∴ =- ,∴∠AF2O=60°,又∵|AF1|=|AF2|,∴△AF1F2为正三角形,又∵DE⊥AF2且F1∈DE,∴DE为AF2的中垂线,∴|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,∴△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|F2E|+|DF1|+|F1E|=4a.
【将直线DE与椭圆的方程联立,表示出弦长DE,得到c的值,从而得到a的值,进而得到△ADE的周长】∵DE⊥AF2,∴kDE= ,∴DE的方程为y= (x+c),
联立得 消去y得,13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2=- c2,∴|DE|= · =6,
∴c= ,又∵a=2c,∴4a=8c=13,∴△ADE的周长为13.
8.★★★(2022天津,19,15分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足 = .(1)求椭圆的离心率e;(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为 ,求椭圆的标准方程.
解析    (1)∵|BF|= =a,|AB|= ,∴ = = ,解得a= b,∴c= = b,∴离心率e= = .(2)由(1)知椭圆方程为 + =1.由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k0,如图.则有|OM|=|ON|=m.
 联立得 则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,Δ=0⇒3b2k2+b2-m2=0,由根与系数的关系得xM=- ,代入直线l的方程,有yM= .∴|OM|= = =m,解得k=- ,
设直线OM的倾斜角为θ,∴kOM=tan θ= =- = ,∴θ=30°,故∠NOM=60°,∴S△OMN= m2sin∠NOM= m2= ,解得m=2,∴3b2× +b2-4=0,可得b2=2,∴椭圆的标准方程为 + =1.
1.★★(2026届江西赣抚吉十二校联考,5)已知椭圆的方程为 + =1(m>n>0),且离心率与双曲线 - =1的离心率互为倒数,则下列椭圆方程不满足上述条件的为 ( )A. + =1　　    B. + =1C. + y2=1　　    D.3x2+4y2=1
解析　因为双曲线 - =1的离心率为e'= =2,所以椭圆 + =1的离心率为e= ,则离心率e= = = ,解得 = .对于A,m=4,n=3,满足条件;对于B,m=16,n=4,不满足条件;对于C,m=2,n= ,满足条件;对于D,m= ,n= ,满足条件.故选B.
2.★★(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C: + =1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e= ”是“λ=8”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析　当C的离心率e= 时,若00)上一点,F1,F2是C的两个焦点, · =0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　如图,设F1,F2分别是左、右焦点,|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于A, 因为OQ∥PF1,O为F1F2的中点,所以A为PF2的中点,因为 · =0,即PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=∠QAP= ,又点Q在∠F1PF2的平分线上,则∠QPA= ,故△QAP是等腰直角三角形,因此|AQ|=|PA|= |PF2|= n,
则|OA|= |PF1|= m=|OQ|+|AQ|=2b+ n,即m-n=4b,由|PF1|+|PF2|=2a,得m+n=2a,因此得 在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则m2+n2=4c2,将 代入m2+n2=4c2,得(a+2b)2+(a-2b)2=4c2,即a2+4b2=2c2,因为b2=a2-c2,所以5a2=6c2,所以e2= = ,e= .故选A.
4.★★★(2026届河南新乡开学考,8)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上一点,设△PF1F2的内切圆为☉B,连接PB并延长交x轴于点A,若 =4 ,则C的离心率为( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　如图,连接BF1,BF2.由题意得,B是△PF1F2的内心,【思路探究:内心是三角形三内角平分线的交点,运用角平分线的性质解决问题】 则F1B,F2B分别是∠PF1F2和∠PF2F1的平分线,PA是∠F1PF2的平分线,可得 = , = ,由比例性质可知 = = = = .又因为 =4 ,所以椭圆的离心率e= = = .故选A.
5.★★★(教材溯源·人教A版选择性必修第一册P140)(2026届贵州贵阳质量监测,6)已知椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射后,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线,经C上的点A反射后,反射光线再经C上的点B反射.若经过这两次反射后,AF2⊥BF2,且cs∠ABF2= ,则C的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　在Rt△ABF2中,由cs∠ABF2= = ,设|BF2|=4k,|AB|=5k,k>0,则|AF2|=3k,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则|AF1|=2a-3k,|BF1|=2a-4k,则2a-3k+2a-4k=5k,解得k= ,则|BF2|= a,|BF1|= a,在△BF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1||BF2|·cs∠F1BF2,即(2c)2= + -2× a× a× ,则4c2= a2,即c2= a2,故e= = .故选D. 
6.★★★(2026届河北邢台七校期中,7)已知F1,F2分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,满足|PF1|=|F1F2|,且点F1到直线PF2的距离为 b,则该椭圆的离心率为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　因为点P在椭圆C上,所以|PF1|+|PF2|=2a,又因为|PF1|=|F1F2|=2c,所以|PF2|=2a-2c,过F1作F1A⊥PF2,垂足为A,由已知可得|F1A|= b, 由勾股定理可知:|PF1|2=|PA|2+|F1A|2⇒4c2= +( b)2,而b2=a2-c2,化简得2a2-ac-3c2=0⇒(a+c)(2a-3c)=0⇒a=-c(舍去)或c= ,故e= ,故选A.
7.★★(多选)(2026届浙江台州十校联盟期中联考,9)已知椭圆C: + =1,则 ( )A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的一个顶点为(0,5)C.椭圆C的焦距为8D.椭圆C的离心率为 
8.★★(2026届河北冀州中学开学考,12)已知椭圆x2+my2=1(m>1)的离心率为 ,则m=_________.
9.★★★(2025届江苏镇江丹阳一模,14)已知椭圆 + =1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为 .若A,B分别是椭圆的上、下顶点,F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,P为椭圆上任意一点,且 · =- ,则△PF1F2的面积为_________.
解析　因为 所以a=2,b=1,c= ,所以椭圆方程为 +x2=1,则A(0,2),B(0,-2),设P(x0,y0),所以 =(-x0,2-y0), =(-x0,-2-y0),且 + =1,所以 · = + -4= +4-4 -4=- ,所以 = ,
故 = |F1F2|·|x0|= ×2c· = × = .
10.★★★(2026届四川德阳质监,13)若椭圆C: + =1(a>b>0)上存在一点P到其左、右焦点的距离之比为3∶1,则椭圆C的离心率的取值范围为_________.