2027届高三数学一轮复习练习课件：第8章　高考热点10　轨迹问题(含解析)

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高考热点10　轨迹问题
目 录 CONTENTS
类型1 常规曲线的轨迹问题类型2 非常规曲线的轨迹问题
类型1　常规曲线的轨迹问题
1.★★(2026届湖北仙桃中学期中,4)平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程 + =2 ,则动点P的轨迹方程为 ( )A. + =1　　    B. + =1C. + =1　　    D. + =1
2.★★(2026届山东青岛期初调研,7)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16,定点N(1,0),P为圆M 上任意一点,线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q,则点Q的轨迹方程为 ( )A. +y2=1　　    B. + =1C. -y2=1　　    D.x2- =1
解析　因为圆M的圆心为M(-1,0),半径r=4,由题知|QN|=|QP|,又|QP|+|QM|=r=4,则|QN|+|QM|=4>|MN|=2,所以点Q在以M(-1,0),N(1,0)为焦点,2a=4的椭圆上,由a=2,c=1,得b2=a2-c2=3,所以点Q的轨迹方程为 + =1,故选B.
3.★★★(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直 于x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G.(1)求点G的轨迹方程;(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A,B两点,点Q(0,1),若点H( ,0)恰好是△ABQ的垂心,求直线l的方程.
解析    (1)设G(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),因为G为△OMN的重心,故 解得 结合 + =9,化简得 +y2=1,又x0y0≠0,故xy≠0,所以G的轨迹方程为 +y2=1(xy≠0).(2)因为H为△ABQ的垂心,所以AB⊥HQ,AH⊥BQ,因为kHQ= =- ,所以kl= ,故设直线l的方程为y= x+m(m≠±1,±2 ),联立
 消去y得13x2+8 mx+4m2-4=0,由Δ=208-16m2>0得m20),故直线l的方程为y= x- .
4.★★★(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y= x和y=- x上的动点,且|AB|= ,设O为坐标原点,动点P满足 = + ,记P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一 点M,若 = ,求l的方程.
解析    (1)由题意,设A ,B ,P(x,y),∵ = + ,∴x=x1+x2,y= (x1-x2).则 (*)∵|AB|= ,∴2=(x1-x2)2+ ,
将(*)式代入得2=2y2+ x2,化简得 +y2=1.∴动点P的轨迹方程为 +y2=1.(2)设点M(x,y).由题意得Q(0,1),F1(- ,0),F2( ,0).∵ = ,∴MF1∥QF2,故 ∥ ,又 =(- -x,-y), =( ,-1),∴ +x+ y=0,
故点M在直线x+ y+ =0上,联立 消去x得7y2+6y-1=0,解得y=-1或y= .∴M(0,-1)或M .当M坐标为(0,-1)时,直线l的方程为x=0,当M坐标为 时,直线l的方程为y-1= x,即y= x+1.
5.★★★★(2026届四川成都树德中学阶段测试,18)已知动点E与点F(1,0)的距离与其到 直线x=-1的距离相等.(1)求动点E的轨迹方程;(2)若点R是y轴左侧(不含y轴)一点,动点E的轨迹上存在不同的两点A,B满足RA,RB的中 点均在E的轨迹上.(i)设AB中点为M,证明:RM∥x轴;(ii)若R是半圆x2+y2=1(x0(-10,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=-110,所以存在x1∈(1,2),使g(x1)=0,即f '(x1)=0,所以f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,2)上单调递减,故存在f(x)>f(2)=1,所以ymax>1,C错误.
2.★★★★(多选)(2026届湖南怀化入学考,11)已知曲线C过点(1,0),且C上的点满足到 坐标原点O的距离与到定直线y=m(m>0)的距离之和为2,则 ( )A.m=1B.曲线C关于x轴对称C.C上的点的横坐标的最大值为 D.x2+2y2-2y的最小值为1
    ACD    
解析　设曲线C上的动点坐标为(x,y),则 +|y-m|=2,因为曲线C过点(1,0),所以有1+|0-m|=2,解得m=1(负根舍去),因此A正确;由选项A知,曲线C的方程为 +|y-1|=2,若P(x,y)在曲线上,则P1(-x,y)也在曲线上,因此曲线C关于y轴对称,又点Q( ,1)在曲线C上,但Q1( ,-1)不在曲线C上,所以曲线C不关于x轴对称,因此B错误;当y≥1时, +|y-1|=2可化为 +y-1=2,即x2=9-6y≤3,当y