2027届高三数学一轮复习练习课件：第7章　高考热点8　截面与翻折问题(含解析)

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高考热点8　截面与翻折问题
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类型1 空间几何体的截面问题类型2 空间几何体的翻折问题
类型1　空间几何体的截面问题
1.★★(2026届广东佛山质检,4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1B1,BC,DD1的中点,过点E,F,G作正方体的截面,则截面的形状为 ( ) A.六边形　　    B.五边形　　    C.四边形　　    D.三角形
解析　因为多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥AD,AA1⊥AB,AA1⊥AD,如图,以点A为原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设AB=2,则E(1,0,2),F(2,1,0),G(0,2,1),所以 =(1,1,-2), =(-1,2,-1),设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则 
取x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1)为平面EFG的一个法向量,取BB1的中点L,CD的中点M,A1D1的中点N,可得L(2,0,1),M(1,2,0),N(0,1,2),所以 =(1,0,-1), =(0,2,-2), =(-1,1,0),因为 ·n=1+0-1=0, ·n=0+2-2=0, ·n=-1+1+0=0,所以点L,M,N都在平面EFG内,连接EL,LF,FM,MG,GN,NE,所以过点E,F,G的正方体的截面为六边形ELFMGN,故选A.
2.★★★(2026届广东部分学校开学考,6)如图,在棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的面积为( ) A.2 　　    B.4　　    C.2 　　    D.4 
解析　如图,H,F为所在棱的中点,连接AH,HF,FB,AF, 因为AP?FC,所以四边形APCF为平行四边形,所以AF∥PC,又AF⊂平面ABFH,PC⊄平面ABFH,所以PC∥平面ABFH,故平面ABFH即为平面α.又正方体的棱长为2,所以AH=BF= = ,AB=HF=2,AF=PC= =3,所以AH2+HF2=AF2,所以∠AHF=90°,
所以平行四边形ABFH为矩形,所以S四边形ABFH=AH·HF= ×2=2 .故选C.
3.★★★(2026届江苏如皋中学开学考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA= AA1,CQ= CC1,那么正方体中过点D,P,Q的截面形状为 ( )A.三角形　　    B.四边形　　    C.五边形　　    D.六边形
以MN∥CQ,且MN=CQ,则四边形NCQM为平行四边形,则NC∥MQ,NC=MQ,又因为PN∥CD,且PN=CD,所以四边形PNCD为平行四边形,
则PD∥CN,PD=CN,所以DP∥MQ,DP=MQ,所以四边形DPMQ为平行四边形,则正方体中过点D,P,Q的截面形状为四边形.故选B.
4.★★★(2026届广东八校联盟开学考,8)如图,在外接球体积为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段DD1上的动点(不包括端点),过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,且交C1D1于点F,当截得的较小部分的几何体的体积为 时, = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　设正方体的棱长为x(x>0),则外接球半径为 ,【正方体体对角线是外接球直径】所以 π = ,解得x=1.连接C1D,在C1D1上取一点F,使得EF∥C1D,连接B1F,设D1E=a(0