2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线与平面所成角的范围是 ．
2．不重合的两个平面最多有 条公共直线．
3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 ．
4．正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 ．
6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的 ．
7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 ．
8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为 ．
9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 ．
10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计）．
11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则 ．
12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为 ．
二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分）
13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是
A．直线B．直线C．直线D．直线
14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
16．已知正方体和点，有两个命题：
命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．、的大小关系与点的位置有关
三、解答题：（本大题共有5题，共计42分）
17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）
18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；
（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．
20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，求到平面的距离．
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．
（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；
（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．
参考答案
一、填空题
1．直线与平面所成角的范围是 ．
【解答】直线和平面所成的角，应分三种情况：
①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；
③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为．
显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为，．
故答案为：，．
2．不重合的两个平面最多有 1 条公共直线．
解：不重合的两个平面最多有1条公共直线．
故答案为：1．
3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 平行或相交 ．
解：空间中两条直线、有三种位置关系，分别为平行、相交和异面，
由公理2的推论可知，只有当两直线平行或相交时，两直线才能确定一个平面．
故答案为：平行或相交．
4．正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
解：法如图，取中点为，中点为，连接，取中点为，连接，，
设正方体棱长为2，则，，，
，取中点为，连接，，，
则，，，
从而，
即异面直线与所成角的大小为．
法在正方体中，连接，，
易得平面，且，
又因为平面，
可得，
又因为，
可得平面，而平面，
可得，
即异面直线与所成角的大小为．
5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 ．
解：在正方体中，平面，
则是直线与平面所成的角，
而，
在△中，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
故答案为：．
6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的 外心 ．
解：在三棱锥中，，
设点在底面的投影为，则底面，
连接，，，则，，，
由于，则由勾股定理可得，
所以点是△的外心．
故答案为：外心．
7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 ．
解：棱锥的棱长都为2，
四棱锥为正四棱锥，则，
在中，可得，
棱锥体积．
故答案为：．
8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为 1 ．
解：根据题意，的面积为，则其 水平放置的直观图△的面积，
则有，则有，
则由余弦定理可得：，
即的长为1；
故答案为：1．
9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 ．
解：因为矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周
所以所形成的几何体可由一个圆柱，去掉两个全等圆锥所构成，
圆柱，圆锥底面半径为1，圆柱高为2，圆锥高为1，则圆柱体积为：，
圆锥体积为：，则几何体体积为：．
故答案为：．
10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计）．
解：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为．
因为圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的底面周长为，
故，
解得，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则 ．
解：由已知，，
即，，
由已知可得，
，
，
．
故答案为：．
12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为 ．
解：将△绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离，
所以，因为，
所以．
所以当取最小时，为的中点，因为△为等边三角形，为的中点，
所以为△的重心，故，
在平面中，延长交于点，
因为，，，
所以△△，故．
取的中点，为的中点，则，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，，
又，，所以，所以，
故过点，，的三棱柱的截面为梯形，
，
如下图，过作，设，，
因为，，
则，
所以，
则梯形的面积为．
故答案为：．
二、选择题：（本大题共有4题，每小题4分，共计16分）
13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是
A．直线B．直线C．直线D．直线
解：根据异面直线的概念可看出直线，，都和直线为异面直线；
和在同一平面内，且这两直线不平行；
直线和直线相交，即选项正确．
故选：．
14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
解：根据题意，依次分析选项：
对于，与可能平行，也可能异面，错误；
对于，与可能平行、也能相交，错误；
对于，与可以平行、也可以相交或异面，错误；
对于，若，，必有，正确；
故选：．
15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
解：根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，
反之，当成立时，不一定有成立，
比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
16．已知正方体和点，有两个命题：
命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．、的大小关系与点的位置有关
解：正方体有四条体对角线，
四条体对角线与正方体的每条棱所成角都相等，夹角的正切值为，
过点可以作4条直线，4条直线分别与4条体对角线平行，
正方体只有4条体对角线，
；
过正方体的一个顶点可以作出正三棱锥，比如，
可以证明平面与正方体的三个平面，平面，平面的锐二面角相等，
设平面与平面的夹角为，
，相交于点，连接，则即为平面与平面的夹角，
，
可以求出平面与平面，平面与平面的锐二面角的正切值均为，
根据面面平行，故平面与正方体的每个面所成锐二面角都相等，
从8个顶点可以作出8个类似的正三棱锥，
得到八个平面，分别为平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面，
但平面，平面，平面，平面分别与平面，平面，平面，平面，平面平行，
综上，过点共可以作4个平面满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等，
．
故选：．
三、解答题：（本大题共有5题，共计42分）
17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）
解：已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为，
设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为，
因圆柱的底面周长为，则，
则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：，
圆锥侧面积为：，
则“笼具”表面积为：，
该材料的造价为每平方米8元，
则总造价为：元．
18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：在正方体中，连接，，，
因为平面，平面，
所以，又，且，
，平面，
所以平面；
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系：、分别是棱、的中点．
则，0，，，0，，，4，，，4，，
所以，
可得，，，
可得，，
设异面直线与所成的角为，
可得，．
19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；
（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．
解：（1）文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
用符号语言叙述该定理：，．
（2）平面平面，平面平面，平面平面
20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，求到平面的距离．
【解答】（1）证明：连接交于点，连接，
在三角形中，点是的中点，点是的中点，
即线段是△的中位线，，
又平面，平面，
平面；
（2）解：平面，平面，平面平面，
又平面平面，在平面内，过作，
则平面，即为到平面的距离，
在△中，由，，得，
由等面积法可得，到平面的距离为．
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．
（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；
（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．
解：（1）由题意得平面，又，平面，
所以，，
四边形为菱形，故，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
已知，△是等边三角形，
故，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，得，故，
显然平面的一个法向量为，
则，
设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角，
故，则．
（2）当时，直线与平面所成的角最大．理由如下：
设，，，，，，
其中，，
，则，
故，，，
，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角大小为，
则
，
因为，，所以当时，取得最大值，
最大值为，
又，而在上单调递增，
所以，即当时，直线与平面所成的角最大．