2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了设，，则　　，函数的最小值为 　　等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
一、填空题（共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分）.
1．已知全集为，集合，则 ．
2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是 ．
3．方程的解集为 ．
4．函数的图象过定点，则点的坐标是 ．
5．不等式恒成立，则的取值范围 ．
6．设，，则 ．（用，表示）
7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
8．函数的最小值为 ．
9．已知实数，满足，则的最小值为 ．
10．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，，．设，若，，则关于的不等式的解集为 ．
二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分）
11．已知，下列不等式中一定成立是（ ）
A．B．C．D．
12．在区间上是严格增函数，且图像关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．C．，，D．，
三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18＝77分）
14．设函数．
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
15．（1）已知正数满足，，求的值；
（2）已知、、均为正数，且，求的值．
16．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元设长为，总造价为元，求：
（1）设长为，用表示，并求出的取值范围；
（2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价．
17．（18分）已知函数，．
（1）已知，若，求实数取值范围；
（2）若的解集是，求的解集；
（3）解关于的不等式．
18．（18分）（1）若方程的两根分别为、，求的值．
（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明；
证明：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为．
由于，从而等式恒成立．由例5知，该等式两边的对应项系数应相等．因此，．
类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；
（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值．
参考答案
一、填空题（本大题共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分）
1．已知全集为，集合，则， ．
解：全集为，集合，
，．
故答案为：，．
2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是 ．
解：由题意可设，
幂函数的图象经过点，
，解得，
故的解析式是．
故答案为：．
3．方程的解集为 ．
解：根据题意，，必有，解可得，
原方程变形可得，即有，
解可得：或，
又由，则；
故方程的解集为．
故答案为：．
4．函数的图象过定点，则点的坐标是 ．
解：因为的图象过定点，
令，则，，
所以点的坐标为．
故答案为：．
5．不等式恒成立，则的取值范围 ．
解：因为的几何意义是数轴上的点到，与到1的距离之和，显然最小值为2，
所以的取值范围是：．
故答案为：．
6．设，，则 ．（用，表示）
解：．
故答案为：．
7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
解：当时，可得
由题意可得，
即，
即
解得，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
8．函数的最小值为 ．
解：由题意知的定义域为，
所以，当时，函数取得最小值，
故答案为：．
9．已知实数，满足，则的最小值为 ．
解：，，，，
故，两边同时除以，得，
故，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
10．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，，．设，若，，则关于的不等式的解集为 ．
解：当时，，，所以，
等价于，解得，所以．
当时，，，所以，
等价于，解得，所以；
当时，，，所以，
等价于，解得，所以；
当时，，，所以，
等价于，解得，所以；
综上所述，不等式的解集为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分）
11．已知，下列不等式中一定成立是（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，不等式不成立，故错误；
对于，当时，不等式不成立，故错误；
对于，当，时，不等式不成立，故错误；
对于，因为，，必有成立，故正确．
故选：．
12．在区间上是严格增函数，且图像关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ）
A．B．C．D．
解：对于，，定义域为，，图像不关于轴对称；
对于，，是奇函数，图像不关于轴对称；
对于，，是定义域为的偶函数，图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数；
对于，，是定义域为上的偶函数，图像关于轴对称，在区间上单调递减．
故选：．
13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．C．，，D．，
解：由，
可得，
解得或，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知有两个解，
要使原方程有5个解，
所以必有3个解，
由图象可得，．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18＝77分）
14．设函数．
（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数，
因为不等式的解集是，
所以2和3为方程的两个根，
则，解得，，
则不等式即为，变形为，
解得，
故不等式的解集为；
（2），恒成立，
则恒成立，
所以△，
解得，
故实数的取值范围为，．
15．（1）已知正数满足，，求的值；
（2）已知、、均为正数，且，求的值．
解：（1）因为，所以．
所以；
（2）因为、、均为正数，设，则，
所以，，，，
所以，，，
所以．
16．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元设长为，总造价为元，求：
（1）设长为，用表示，并求出的取值范围；
（2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价．
解：（1）设长为，长为，
因为十字形区域面积为，
所以，解得，
因为，所以，因为，所以，
所以，；
（2）在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元，
四个矩形地砖面积，
造价；
在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元，
四个三角形草坪面积，
造价；
在正方形上建一座花坛，造价为2100元，
正方形花坛面积，
造价；
则总造价
，
化简得，
因为，
当且仅当，即（在范围中）时取等号，此时元，
综上，当的长为时，总造价最低，为59000元．
17．（18分）已知函数，．
（1）已知，若，求实数取值范围；
（2）若的解集是，求的解集；
（3）解关于的不等式．
解：（1）由题意知，得（1），即，化简得，解得，
所以的取值范围是，．
（2）由题意知，，得，化简得，
即，
因为不等式的解集为，所以，
此时，不等式为，解得，满足题意，
由，得，即，解得，
所以，不等式的解集为，．
（3）由，得，即，
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的根为，．
①当时，即时，解原不等式得或，
②当时，即时，原不等式即为，解得；
③当时，即时，解原不等式得；
④当时，即时，解原不等式得．
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
18．（18分）（1）若方程的两根分别为、，求的值．
（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明；
证明：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为．
由于，从而等式恒成立．由例5知，该等式两边的对应项系数应相等．因此，．
类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；
（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值．
解：（1）由题意，，
所以；
（2）设有三个不相等的实数根，，，
则可分解因式为，
展开得，
所以有恒成立，
所以等式两边对应系数相等，
所以有，，；
（3）由（2）可知，，，，
易知，
因为，
所以有，
解得．
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、，则，．
韦达定理 若一元二次方程的两个根为、，则，．