2025-2026学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算 ．
2．已知集合，，则 ．
3．将化成有理数指数幂的形式为 ．
4．用反证法证明命题：“设，．若，则或”时，假设的内容应该是 ．
5．若，，则，的大小关系为 ．
6．已知一元二次不等式的解集为，，，则一元二次不等式的解集是 ．
7．若，则的值为 ．
8．设，方程的解集是 ．
9．已知，，则 ．
10．已知，，且，则的最小值为 ．
11．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
12．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题、1满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题份题5分，每题有且只有一个正确选项）
13．若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．“且”是“且”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
15．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）
A．14小时B．18小时C．20小时D．24小时
16．已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．解下列不等式与方程组．
（1）解含绝对值的不等式：；
（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求．
19．如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．
（1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
20．（18分）已知集合．
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
21．（18分）已知集合，，，，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合，1，2，和集合，0，1，是否具有“包容”性；
（2）若集合，，具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．计算 4 ．
解：，
故答案为：4．
2．已知集合，，则 ．
解：集合，，
由，得，
则．
故答案为：．
3．将化成有理数指数幂的形式为 ．
解：．
即化成有理数指数幂的形式为：．
故答案为：．
4．用反证法证明命题：“设，．若，则或”时，假设的内容应该是 且 ．
解：由反证法可知，假设的内容应该是且，
故答案为：且．
5．若，，则，的大小关系为 ．
解：因为，
所以，
故答案为：．
6．已知一元二次不等式的解集为，，，则一元二次不等式的解集是，， ．
解：因为的解集为，，，
则方程的两根为和2，
则有，即，，
则等价于，
得，
解得，
故不等式的解集为，，．
故答案为：，，．
7．若，则的值为 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
8．设，方程的解集是，， ．
解：当时，方程为，等式成立；
当时，方程为，解得，舍去；
当时，方程为，等式成立；
综上，方程的解集为，，．
故答案为：，，．
9．已知，，则 ．
解：因为，，
所以．
即．
故答案为：．
10．已知，，且，则的最小值为 ．
解：由题意，，且，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
11．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
解：①当，即时，
，解得；
②当，即时，
若，则原不等式为，恒成立；
若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当时，原不等式的解集为．
故答案为：．
12．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ．
解：因为，
所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且，
所以首先，解得，
又方程的根为，即或，
所以不等式的解集为，
因为，所以，
所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5，
所以，
又因为，
所以解得，即实数的范围为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题、1满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题份题5分，每题有且只有一个正确选项）
13．若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：对于选项，
，，
，
即，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
即，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
故不等式不成立；
故选：．
14．“且”是“且”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，
反之，不成立，比如，，，，推不出前者，
故前者时后者的充分不必要条件条件，
故选：．
15．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）
A．14小时B．18小时C．20小时D．24小时
解：设经过小时，处理池中的污染物水平降到最初的，
则，
则．
故选：．
16．已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
解：根据题意，集合，，且，
，又，
①当时，则2是的根，，
，1，2，；
②当时，则1是的根，，
，2，1，，
综合①②可得集合的元素有4个，
集合的子集的个数为．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．解下列不等式与方程组．
（1）解含绝对值的不等式：；
（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．
解：（1）当时，不等式显然成立，
当时，因为，
则，得，
得，
又，得，
综上知，不等式解集为．
（2）因为，两式相减，得到，
当时，，代入方程组中的第一式，得到，
此时，原方程组的解集为，
当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集．
综上知，当时，解集为；当时，解集为．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求．
解：（1）因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，
解得：且，
所以实数的取值范围是．
（2）当，一元二次方程即为，
所以，
所以．
19．如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．
（1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
解：（1）依题意，所用篱笆总长为，
而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小；
（2）依题意，
所以篱笆所围的育苗区面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．
20．（18分）已知集合．
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，；
（2）因为，
，
又，则，所以，解得：，
所以的范围为：；
（3）由可得：，
当时，此时，而，
若，则满足题意，
当时，不等式解集为，此时满足；
当时，此时，而，
若，则或，解得或，则或，
综上：实数的取值范围为：或．
21．（18分）已知集合，，，，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合，1，2，和集合，0，1，是否具有“包容”性；
（2）若集合，，具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合．
解：（1）集合，1，2，中的，1，2，，，1，2，，
所以集合，1，2，不具有“包容”性，
集合，0，1，中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，0，1，，
所以集合，0，1，具有“包容”性；
（2）已知集合，，具有“包容”性，记，，，则，
易得，，，从而必有，，，
不妨令，则，0，，且，
则，，0，，
且，，0，，
①当，0，时，若，得，此时，0，具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当，0，时，则，，0，，由且，可知无解，
故，0，．
综上，；
（3）因为集合的子集有64个，所以集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，，，，0，，，，，
其中，，，
根据题意，，，，，，
且，，，，，，，
从而，，或．
①当，，时，，，，
并且由，，，得，由，，得，
由上可得，，，，，并且，
综上可知，，，0，，；
②当，，时，同理可得，，0，，，．
综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，0，1，2，，，，，，，0，1，或．