2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线与平面所成角的范围是 ．
2．不重合的两个平面最多有 条公共直线．
3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 ．
4．正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 ．
6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的 ．
7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 ．
8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为 ．
9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 ．
10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计）．
11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则 ．
12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为 ．
二、选择题
13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是
A．直线B．直线C．直线D．直线
14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
16．已知正方体和点，有两个命题：
命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．、的大小关系与点的位置有关
三、解答题
17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）
18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；
（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．
20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，求到平面的距离．
21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．
（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；
（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．
参考答案
一、填空题
1．，．
2．1．
平行或相交．
．
5．．
6．外心．
7．．
8．1．
9．．
10．．
11．．
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为，
设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为，
因圆柱的底面周长为，则，
则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：，
圆锥侧面积为：，
则“笼具”表面积为：，
该材料的造价为每平方米8元，
则总造价为：元．
19．解：（1）文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
用符号语言叙述该定理：，．
（2）平面平面，平面平面，平面平面
21．解：（1）由题意得平面，又，平面，
所以，，
四边形为菱形，故，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
已知，△是等边三角形，
故，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，得，故，
显然平面的一个法向量为，
则，
设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角，
故，则．
（2）当时，直线与平面所成的角最大．理由如下：
设，，，，，，
其中，，
，则，
故，，，
，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角大小为，
则
，
因为，，所以当时，取得最大值，
最大值为，
又，而在上单调递增，
所以，即当时，直线与平面所成的角最大．