2025-2026学年上海市浦东新区高桥中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区高桥中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（共36分）
1．若用列举法表示集合，则 ．
2．设集合，，则 ．
3．已知，，用，表示代数式 ．
4．已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大，则实数的值为 ．
5．若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 ．
6．若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ．
7．已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是 ．
8．下列命题中真命题的是 （填上所有你认为正确的命题序号）．
（1）当时，函数的图象是一条直线；
（2）幂函数的图象都经过和两个点；
（3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数；
（4）幂函数的图象不可能在第四象限．
9．不等式的解集为 ．
10．若，则 ．
11．已知关于的不等式的解集是，，，则实数的取值范围是 ．
12．若方程恰有一个根，则实数的取值范围为 ．
二、选择题：（4分一题，共16分）
13．若，3，，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
14．函数为对数函数，则实数的值为（ ）
A．3B．C．2D．
15．下列函数中其图像关于轴成轴对称，且在上是严格增函数的是（ ）
A．B．C．D．
16．在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题：
17．求关于的方程的解集．
18．已知幂函数．
（1）求的值及的解析式；
（2）作出幂函数的大致图象．
19．已知函数，且，过点．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式．
20．已知全集，，，或，且，求实数的取值范围．
21．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题：（3分一题，共36分）
1．若用列举法表示集合，则 ， ．
解：由，得，或．
所以，．
故答案为：，．
2．设集合，，则， ．
解：集合，
，
则
，．
故答案为：，．
3．已知，，用，表示代数式 ．
解：由，，
可得：．
故答案为：．
4．已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大，则实数的值为 ．
解：由，故在，上单调递增，
故有，
即，
解得或（舍去）．
故答案为：．
5．若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 25 ．
解：根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，直角三角形斜边长等于，，
则，当且仅当时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为25．
故答案为：25．
6．若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ．
解：因为时，，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
7．已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是 ．
解：由题意，根据韦达定理可得，，
所以，
故以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是．
故答案为：．
8．下列命题中真命题的是 （4） （填上所有你认为正确的命题序号）．
（1）当时，函数的图象是一条直线；
（2）幂函数的图象都经过和两个点；
（3）若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在定义域上是严格增函数；
（4）幂函数的图象不可能在第四象限．
解：当时，函数，定义域为，
故该函数的图象是一条直线缺一个点，即不过，故（1）（2）错误；
对（3）：例如时，函数，定义域为，，，
此时该函数的图象关于原点成中心对称，
但在定义域，，上不是严格增函数，故（3）错误；
对（4）：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能在第四象限，故（4）正确．
故答案为：（4）．
9．不等式的解集为 ．
解：因为，所以指数函数在上单调递减，
所以原不等式可化为，
两边平方得，
整理得，
解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
10．若，则 1 ．
解：，
，，
，
故答案为：1．
11．已知关于的不等式的解集是，，，则实数的取值范围是， ．
解：当，，时，，
则需对任意，，恒成立，
当时，，
则需对任意，恒成立，
当，时，，
此时，故，不在不等式解集中，符合要求；
综上，可得在上恒成立，且的根仅可在区间，上取得；
当时，有，符合题意，
当时，若△，即，
此时，则，符合要求，
若，
解得，
综上可得：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
12．若方程恰有一个根，则实数的取值范围为， ．
解：由题知，方程恰有一个根，
即为和有一个交点，
分别作出和的图象，
由图象可得，和时，有一个交点，
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．
二、选择题：（4分一题，共16分）
13．若，3，，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
解：若，3，，则有，，，，，3，，故充分性不成立；
若，，则，3，，必要性成立．
故选：．
14．函数为对数函数，则实数的值为（ ）
A．3B．C．2D．
解：函数为对数函数，
则，所以，解得．
故选：．
15．下列函数中其图像关于轴成轴对称，且在上是严格增函数的是（ ）
A．B．C．D．
解：．其定义域为，又，
则是偶函数，图象关于轴对称且在上递增，
根据偶函数的对称性可得在上递减，故错误；
．其定义域为，，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，
图象不关于轴对称，故错误；
．定义域为，，，关于原点对称，又，则是偶函数，
图象关于轴对称，又，所以在上递减，
由偶函数的性质得在上递增，故正确；
的定义域为，，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故错误．
故选：．
16．在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
解：中，根据指数函数且图像递减可知，
而一次函数的图像与轴交点纵坐标为，二者矛盾，所以错；
根据一次函数的图像与轴交点横坐标为，排除；
中，根据指数函数且图像递减可知，
而一次函数的图像与轴交点纵坐标为，二者值稳合，所以对；
中，由一次函数的图像可知，与且矛盾，所以错．
故选：．
三、解答题：
17．求关于的方程的解集．
解：关于的方程，即为，
当时，无解；
当时，方程解集为；
当时，方程解集为．
18．已知幂函数．
（1）求的值及的解析式；
（2）作出幂函数的大致图象．
解：（1）由已知，，解得，则；
（2）幂函数的图象如下：
19．已知函数，且，过点．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式．
解：（1）由题设条件可知，（3）
即，
解可得，
，
（2）的定义域为，并在其定义域内单调递增，
，
不等式的解集为．
20．已知全集，，，或，且，求实数的取值范围．
解：根据题意，当，即时，，
此时，满足，可知符合题意；
当，即时，或，
此时，
因为或，且，
所以或，
解得或，结合，可得或．
综上所述，或，的取值范围是．
21．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可得，，即，解得，
所以的取值范围是．
（2）依题意，，若对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
因为，故，所以实数的取值范围为，．
（3）
，
其中的几何意义为：
在数轴上一点到的距离之和，
要想距离之和最小，其中当时，取得最小值，
当时，取得最小值，
当时，取得最小值，
综上，当时，取得最小值，
最小值为，故存在最小值，最小值为9．