2025-2026学年上海市徐汇中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇中学高一（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，，，若，则 ．
2．函数的定义域是 ．
3．若集合，，则 ．
4．幂函数的图象过点，那么（8）的值为 ．
5．满足条件，，2，3，，的集合的个数为 ．
6．已知，，则 ．
7．已知函数，的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
8．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则其中真命题的个数是
9．函数且在区间，上的最大值比最小值大，则的值为 ．
10．已知集合，，若，则实数组成的集合为 ．
11．已知，，．若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为 ．
12．设为非空实数集满足：对任意给定的、、可以相同），都有，，，则称为幸运集．
①集合，，0，1，为幸运集；
②集合，为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；
④若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ．
二、选择题
13．“”是“”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ）
A．，不都能被5整除B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除D．能被5整除
15．函数的大致图像如图，则其解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的真子集，对任意的，是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
三、解答题
17．已知集合，，全集为．
（1）若，求阴影部分表示的集合．
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、，
（1）若，求实数的值；
（2）将与表示为的代数式，并比较与的大小．
19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，用表示一年的总运费与总存储费用之和．
（1）请用的表达式表示出；
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨；
（3）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量需要在什么范围内？
20．定义：对函数，若在其定义域内存在实数，使得（1），则称函数具有性质．
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）设函数具有性质，求非零实数的取值范围．
21．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意、，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”．
（1）判断，3，和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
（2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”；
（3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）．
参考答案
一、填空题
1．，2，．
2．，．
4．．
5．4．
6．3．
7．，．
8．1．
10．，，．
11．，．
12．②④．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）因为，等价于，
解得，
即，
当时，，
由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，可得，
所以阴影部分表示的集合为；
（2）由（1）可得：，，
因为，则，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
18．解：（1）方程有两个不相等的实根、，则△，解得：或，
由根与系数的关系可得：，，
则，解得：或（舍去）；
所以实数的值为．
（2）由（1）得或，且，，
所以，，
所以，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上，，，且．
19．解：（1）公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，
需要购买次，运费为4万元次，
又一年的总存储费用为万元，
一年的总运费与总存储费用之和为．
（2），当，即吨时，等号成立，
每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
（3），解得，
每次购买量应该大于等于10吨且小于等于40吨的范围内．
20．解：（1）根据，假设具有性质，
那么，，（1），
（1）即为，
而，因此，即（1）无解，
即不具有性质；
根据，假设具有性质，
那么，，（1），，
即，解得，
即具有性质；
（2）根据已知具有性质，
设，，
那么，，，，
即有解，
即，
当时，，此时方程无解，不成立，
当，即时，方程可转化为，
又当时，，即，解得，
即．
21．解：（1），3，，当时，，，
由“坏集”的定义得，3，是“坏集”．
，设，
当时，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
对于任意、，，若数或中至少有一个属于，
由“好集”的定义得集合是“好集”．
（2）证明：有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，
假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，
则，，，，
，，由“坏集”的定义得有限集合是“坏集”．
（3）当，且时，，，则为“超级好集”；
下面证明：集合中不可能存在其它元素．
由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素，
若、，且为中大于1的元素中最大的元素
此时，，不是“超级好集”；
若、，且为中小于1的元素中最大的元素
此时，，不是“超级好集”；
中不可能存在其它元素．
满足题意的“超级好集” ，且．