2025-2026学年上海市徐汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，，，若，则 ．
2．函数的定义域是 ．
3．若集合，，则 ．
4．幂函数的图象过点，那么（8）的值为 ．
5．满足条件，，2，3，，的集合的个数为 ．
6．已知，，则 ．
7．已知函数，的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
8．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则其中真命题的个数是
9．函数且在区间，上的最大值比最小值大，则的值为 ．
10．已知集合，，若，则实数组成的集合为 ．
11．已知，，．若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为 ．
12．设为非空实数集满足：对任意给定的、、可以相同），都有，，，则称为幸运集．
①集合，，0，1，为幸运集；
②集合，为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；
④若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ．
二、选择题（13-14题每题3分，15-16每题4分，共14分）
13．“”是“”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ）
A．，不都能被5整除B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除D．能被5整除
15．函数的大致图像如图，则其解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的真子集，对任意的，是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
三、解答题（17-18题每题8分，19-21每题10分，共46分）
17．已知集合，，全集为．
（1）若，求阴影部分表示的集合．
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、，
（1）若，求实数的值；
（2）将与表示为的代数式，并比较与的大小．
19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，用表示一年的总运费与总存储费用之和．
（1）请用的表达式表示出；
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨；
（3）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量需要在什么范围内？
20．定义：对函数，若在其定义域内存在实数，使得（1），则称函数具有性质．
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）设函数具有性质，求非零实数的取值范围．
21．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意、，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”．
（1）判断，3，和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
（2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”；
（3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）．
参考答案
一、填空题
1．设集合，，，，若，则 ，2， ．
解：，．
．．
，，，．，2，，
故答案为，2，．
2．函数的定义域是 ， ．
解：由，得，
函数的定义域是，．
故答案为：，．
3．若集合，，则 ．
解：解得，
．
4．幂函数的图象过点，那么（8）的值为 ．
解：设幂函数的解析式为，
幂函数的图象过点，
，．
（8），
故答案为：．
5．满足条件，，2，3，，的集合的个数为 4 ．
解：由题意，，4，，2，，
则集合可能为，4，，，3，4，，，3，4，，，2，，共4种情况．
故答案为：4．
6．已知，，则 3 ．
解：由，可得，同理由，可得，
所以，
故答案为：3．
7．已知函数，的图象如图所示，则不等式的解集是 ， ．
解：由图象可得：当时，，
当时，无意义，
当时，，
当时，，当时，，
综上，的解集为，，
故答案为：，．
8．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则其中真命题的个数是 1
解：①由，当时，，即，所以①错误；
②由，即，所以，所以②正确；
③由，当时，，所以③错误．
故答案为：1．
9．函数且在区间，上的最大值比最小值大，则的值为或 ．
解：由题意可得：
当时，函数在区间，上单调递增，
（2）（1），解得（舍去），或．
当时，函数在区间，上单调递减，
（1）（2），解得（舍去），或．
综上可得，，或．
10．已知集合，，若，则实数组成的集合为 ．
解：，
，
，
当时，，符合题意，
当，，即或，解得或，
综上所述，实数组成的集合为，，．
故答案为：，，．
11．已知，，．若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为， ．
解：因为，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，
所以，当且仅当时取到等号，
因此，
当时，原式化为，解得，
当时，原式化为，解得，
因此，．
故答案为：，．
12．设为非空实数集满足：对任意给定的、、可以相同），都有，，，则称为幸运集．
①集合，，0，1，为幸运集；
②集合，为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；
④若集合为幸运集，则一定有．
其中正确结论的序号是 ②④ ．
解：为非空实数集满足：对任意给定的、、可以相同），都有，，，则称为幸运集．
对于①：，故集合，，0，1，不为幸运集，故①错误；
②设，，则，，且，，故，，，故集合，为幸运集，故②正确；
③若集合、为幸运集，设，，，为幸运集，但是不为幸运集，如，时，故，故③错误；
④若集合为幸运集，则取，，则一定有，故④正确．
故答案为：②④．
二、选择题（13-14题每题3分，15-16每题4分，共14分）
13．“”是“”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
解：，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
14．用反证法证明命题：“，，若可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ）
A．，不都能被5整除B．，都能被5整除
C．，都不能被5整除D．能被5整除
解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”的否定是“，都不能被5整除”．
故选：．
15．函数的大致图像如图，则其解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
解：由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零，
对于，的图象是两条射线，
与已知图象不符，故不正确；
对于，的定义域为，，与已知图象不符，故不正确；
对于，当时，是一个单调递增的曲线，
当时，是一个单调递减的曲线，
整体图象关于对称，且在处平滑连接，与已知图象相符，故正确；
对于，当时，，增长速度较快，
当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确．
故选：．
16．设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的真子集，对任意的，是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
解：对于集合，
可得当，即，可得，即有，可得对任意，是的子集；
当时，，，可得是的子集；
当时，，且，可得不是的子集；
综上有，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：．
三、解答题（17-18题每题8分，19-21每题10分，共46分）
17．已知集合，，全集为．
（1）若，求阴影部分表示的集合．
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为，等价于，
解得，
即，
当时，，
由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，可得，
所以阴影部分表示的集合为；
（2）由（1）可得：，，
因为，则，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
18．已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、，
（1）若，求实数的值；
（2）将与表示为的代数式，并比较与的大小．
解：（1）方程有两个不相等的实根、，则△，解得：或，
由根与系数的关系可得：，，
则，解得：或（舍去）；
所以实数的值为．
（2）由（1）得或，且，，
所以，，
所以，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上，，，且．
19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，用表示一年的总运费与总存储费用之和．
（1）请用的表达式表示出；
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨；
（3）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量需要在什么范围内？
解：（1）公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，
需要购买次，运费为4万元次，
又一年的总存储费用为万元，
一年的总运费与总存储费用之和为．
（2），当，即吨时，等号成立，
每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
（3），解得，
每次购买量应该大于等于10吨且小于等于40吨的范围内．
20．定义：对函数，若在其定义域内存在实数，使得（1），则称函数具有性质．
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）设函数具有性质，求非零实数的取值范围．
解：（1）根据，假设具有性质，
那么，，（1），
（1）即为，
而，因此，即（1）无解，
即不具有性质；
根据，假设具有性质，
那么，，（1），，
即，解得，
即具有性质；
（2）根据已知具有性质，
设，，
那么，，，，
即有解，
即，
当时，，此时方程无解，不成立，
当，即时，方程可转化为，
又当时，，即，解得，
即．
21．非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意、，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”．
（1）判断，3，和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；
（2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”；
（3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）．
解：（1），3，，当时，，，
由“坏集”的定义得，3，是“坏集”．
，设，
当时，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
对于任意、，，若数或中至少有一个属于，
由“好集”的定义得集合是“好集”．
（2）证明：有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，
假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，
则，，，，
，，由“坏集”的定义得有限集合是“坏集”．
（3）当，且时，，，则为“超级好集”；
下面证明：集合中不可能存在其它元素．
由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素，
若、，且为中大于1的元素中最大的元素
此时，，不是“超级好集”；
若、，且为中小于1的元素中最大的元素
此时，，不是“超级好集”；
中不可能存在其它元素．
满足题意的“超级好集” ，且．