第一章 丰富的图形世界 - 初中数学七年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第一章 丰富的图形世界 知识点01 立体图形的认识1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.3.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.知识点02 点、线、面、体的关系①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．知识点03 正方体的平面展开图正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种.正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.知识点04 其他立体图形的展开图常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图①圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。②圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）知识点05 截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．知识点6 从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图）题型01 常见的几何体【典例1】下列物品类似正方体的有（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了常见的几何体，熟悉几何体的特征是解题的关键．根据正方体的判断即可．【详解】解：根据正方体的特征得知常用三阶魔方类似正方体．故选：D．【变式1】下列物体中，可以抽象为圆锥的是（   ）A．  B． C．  D．  【答案】B【分析】本题考查了圆锥的识别，正确的识别图象是解决本题的关键．根据圆锥的基本图象对各个选项进行判断即可．【详解】解：A，抽象出来是球，不合题意；B，抽象出来是圆锥，符合题意；C，抽象出来是圆柱，不合题意；D，抽象出来是长方体，不符合题意；故选：B．【变式2】下列物体中，形状类似圆锥的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆锥的特点．根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可；【详解】解：A是圆柱体，B是圆锥，C是球体，D是正方体，故选：B．【变式3】下列几何体中，是圆锥的为（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了几何体的认识，根据圆锥的定义进行逐项分析，即可作答．【详解】解：观察四个选项，是圆锥的，故选：B题型02 立体图形的分类【典例2】观察下图中各几何体的特征，回答下列问题：将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）：（1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ；（2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点．【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④【分析】本题考查几何体的分类，掌握知识点是解题的关键．（1）根据柱体，球体，锥体的定义，即可解答；（2）根据柱体，球体，锥体的特征，即可解答【详解】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤；（2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类．故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④．【变式1】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号）【答案】 ①②③ ⑤ ④【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可．【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤；球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④；故答案为：①②③，⑤，④．【变式2】将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）．【答案】 （1）（2）（3） （5）（6）【分析】本题考查了几何体的分类，几何体一般分为柱体、锥体和球，首先要明确柱体，锥体的概念和定义，然后根据图示进行解答．【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）．故答案为：（1）、（2）、（3）；（5）、（6）．【变式3】如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可．【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．题型03 几何体中的点、棱、面【典例3】如图所示的几何体是由 个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条．【答案】 5 4 1 9 7 2【分析】本题考查了几何体的构成要素及其分类的知识点，包括面（平面与曲面）、线（直线与曲线）的识别与计数，解题关键在于准确观察几何体结构，区分不同类型的面和线，并正确计数．先观察几何体，分别数出组成几何体的面的数量，再区分平面和曲面；接着数出面与面相交形成线的数量，再区分直线和曲线．【详解】解：观察几何体可知，该几何体有上下两个底面（扇形），还有侧面（由 2个长方形平面和 1 个曲面组成），总共个面；其中平面有上下底面中的扇形的面和 2个长方形侧面，共个平面；曲面有 1 个（即侧面中圆形对应的曲面部分）；面与面相交形成线，上下底面的边以及侧面的边，总共条线；其中直线有上下底面中扇形的边和 2 个长方形侧面的边，共条直线；曲线有 2 条（即上下底面中扇形的弧）．故答案为：①5；②4；③1；④9；⑤7；⑥2．【变式1】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空．（1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；（2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；（3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．【答案】 / 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键；（1）结合已知四棱柱特征，即可求解；（2）结合六棱柱的特征，即可求解；（3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点；【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点；（2）六棱柱有个面，条棱，个顶点；（3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．故答案为：（1），，；（2），，；（3），，．【变式2】如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空．(1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；(2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；(3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；(4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．【答案】(1)6，12，8(2)7，15，10(3)8，18，12(4)，，【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面．（1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点；（2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点；（3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点；（4）棱柱面数：2个底面个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点．【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；（2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点；（3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；（4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．【变式3】欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系．（1）表中的值为 ；（2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ．【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键．（1）根据图形直接数出顶点个数即可；（2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可．【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点，∴；故答案为：6．（2）三棱锥中，；长方体中，；五棱柱中，；正八面体中，；∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为：．故答案为：．题型04 点、线、面、体四者之间的关系【典例4】圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹，这种现象说明 ，一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面，当这个人把这个半圆面绕着这根棍飞快旋转起来时就会看到一个球，这种现象说明 ．【答案】 点动成线 面动成体【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，根据点动成线、线动成面、面动成体，并结合题干分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹，这种现象说明点动成线，一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面，当这个人把这个半圆面绕着这根棍飞快旋转起来时就会看到一个球，这种现象说明面动成体．【变式1】用数学知识解释下列现象：（1）飞机做飞行表演时的“飞机拉线”，解释为 ．（2）汽车雨刷刷过的路径，解释为 （3）一个圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成球，解释为 ．【答案】 点动成线 线动成面 面动成体【分析】本题考查点、线、面、体之间的动态关系概念，关键根据这些现象与概念的对应关系来解答问题．点动成线，即一个点运动后会形成一条线；线动成面，一条线运动后会形成一个面；面动成体，一个面运动后会形成一个立体图形．【详解】解：（）飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释：点动成线； （）汽车雨刷刷过的路径，解释：线动成面； （）一个圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释：面动成体；故答案为：①点动成线②线动成面③面动成体【变式2】汽车雨刷的摆动、将教室前的投影幕展开，这些现象给我们以 的形象；硬币在桌面上快速旋转、向玻璃杯中注水时水面的上升，这些现象给我们以 的形象．【答案】 线动成面 面动成体【分析】此题考查点、线、面、体定义及它们之间的关系，根据线动成面，面动成体的实际意义逐项分析判断即可．【详解】解：汽车雨刷的摆动、将教室前的投影幕展开，这些现象给我们以线动成面的形象；硬币在桌面上快速旋转、向玻璃杯中注水水面的上升，这些现象给我们以面动成体的形象，故答案为：线动成面，面动成体【变式3】（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了 ，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为 ，与此原理相同的例子还有 ．（2）宾馆里旋转的大门给我们以 的形象．【答案】 点动成线 线动成面 车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可） 面动成体【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．（1）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可；（2）根据“点动成线，线动成面，面动成体”的概念直接回答即可．【详解】（1）粉笔在黑板上写出一个个字，这说明了点动成线，黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可以解释为线动成面，与此原理相同的例子还有车轮旋转时看起来像一个完整的圆面；故答案为：点动成线，线动成面，车轮旋转时看起来像一个完整的圆面（合理即可）；（2）宾馆里旋转的大门给我们以面动成体的形象，故答案为：面动成体．题型05 平面图形旋转后所得的立体图形【典例5】如图，有一个长、宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转一周，可按两种方案进行操作．方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．(1)上述操作能形成的几何体是________，说明的事实是___________(2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积较大．【答案】(1)圆柱体，面动成体(2)方案一【分析】本题考查了面动成体，圆柱的体积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．（1）根据面动成体解答即可；（2）先分别求出两个方案所得几何体的体积再比较大小即可．【详解】（1）解：上述操作能形成的几何体是圆柱体，说明的事实是面动成体；故答案为：圆柱体，面动成体；（2）解：方案一得到的几何体的体积为：，方案二得到的几何体的体积为：，，方案一得到的几何体的体积较大．【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体．(1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______；(2)求这个几何体的体积．（结果保留）【答案】(1)圆锥，面动成体(2)圆锥的体积为或【分析】（1）根据圆锥的特征，面动成体即可解答；（2）分两种情况进行计算，即可解答．本题考查了面动成体，圆锥的体积，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为面动成体，故答案为：圆锥，面动成体；（2）解：①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为；②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为．综上所述，圆锥的体积为或．【变式2】下图所示的是由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）．①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积（结果保留）．【答案】(1)③(2)【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算．（1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系；（2）明确旋转沿正方形一边后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减．【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体．故答案为：③．（2）由题意，旋转沿正方形的一边，旋转后立体图形可看作底面半径为、高为的圆柱，减去一个底面半径为、高为的圆锥．圆柱体积圆锥体积．总体积．答：得到的立体图形的体积为．【变式3】当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．(1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）(2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）【答案】(1)或(2)【分析】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键．（1）分绕和两边中点所在直线旋转一周和绕和两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可；（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．【详解】（1）解：当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：；当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：；故形成的几何体的表面积为或；（2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为，得到的几何体的体积．题型06 正方体的展开图【典例6】《三字经》中写道“幼习业，壮致身”，意在激励人们在年少时努力学习，为将来成就一番事业打下基础，现将这六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是（   ）A．业B．壮C．致D．身【答案】B【分析】根据正方体表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】在原正方体中与“幼”字所在面相对的面上的字是“壮”，故选：B【变式1】下面的展开图中，可以围成正方体的共有（    ）．A．个B．个C．个D．个【答案】C【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图逐项判断即可求解，掌握正方体的展开图是解题的关键．【详解】解：第个、第个、第个图形可以围成正方体，第个不可以围成正方体，∴可以围成正方体的共有个，故选：．【变式2】如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的，A、还原正方体后，符合题意；B、