2025--2026学年甘肃省兰州市某校高二下册期中数学试题 [含解析]

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1. 已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. (a为常数)B.
C. D.
3. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ）
A. 30B. 20C. 10D. 6
4. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A. 12B. C. 24D.
5. 设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ）

A. 有极小值，但无极大值B. 既有极小值，也有极大值
C. 有极大值，但无极小值D. 既无极小值，也无极大值
7. 某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A. 120种B. 360种C. 240种D. 720种
8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ）
A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 只有零向量的模等于零
D. 若，则是钝角
10. 在展开式中（ ）
A. 展开式中不存在含的项B. 展开式所有项系数和为243
C. 展开式中含项的系数为30D. 展开式共21项
11. 已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. D. 有极小值点，且
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在二项式的展开式中，的系数为___________．
13. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有___________．
14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．

（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面．
16. 有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法
（2）一共抽取了次，检测结束，则有多少种不同的抽法
（3）若至多检测次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若2是的极小值点，求及函数的极值．
18. 设函数
（1）时，求函数的最大值.
（2）讨论的单调性.
（3）当时，证明.
19. 已知，其中．
（1）求证：当时，；
（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；
（3）证明：，其中．
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据空间向量的坐标运算直接求解即可.
解答过程：因为，，，
所以
，
故选：B
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. (a为常数)B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
解答过程：A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.
故选：B
3. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ）
A. 30B. 20C. 10D. 6
答案：D
解析：
思路：分取出的两数都是偶数和取出的两数都是奇数两类求解即可.
解答过程：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，
①取出的两数都是偶数，共有3种取法；
②取出的两数都是奇数，共有3种取法．
故由分类加法计数原理得，共有N=3+3=6(种)取法．
答案：D
4. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A. 12B. C. 24D.
答案：C
解析：
思路：对求导得，根据已知有即可求，进而求.
解答过程：由，得，
∵当时，，解得，
∴，
∴当时，.
故选：C.
5. 设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由求，解不等式求单调区间.
解答过程：定义域为，，
所以，解得，
所以，，
由解得，
所以的单调递减区间为.
故选：A.
6. 已知函数的导函数的图像如图所示，则（ ）

A. 有极小值，但无极大值B. 既有极小值，也有极大值
C. 有极大值，但无极小值D. 既无极小值，也无极大值
答案：A
解析：
思路：通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.
解答过程：
由导函数图像可知：
导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，
在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，
所以原函数在处取得极小值，无极大值，
故选：A.
7. 某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A. 120种B. 360种C. 240种D. 720种
答案：C
解析：
思路：由捆绑法结合排列数计算即可求解.
解答过程：先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有，
2位老师自身有，
所以2位老师相邻，不同的排法共有，
故选：C
8. 已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
答案：A
解析：
思路：先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解.
解答过程：将不等式变形，可得，
要使不等式恒成立，需满足：
当时，，因此需，
当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则，
下面验证时，恒成立，
当时，，所以， 所以，
当时，，所以， 所以，
当时，，
所以时，不等式恒成立，
所以，令，所以，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故选.
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ）
A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 只有零向量的模等于零
D. 若，则是钝角
答案：AC
解析：
思路：根据相等向量的定义判断即可；利用零向量的定义判断C；根据向量数量积的定义，结合余弦函数的图象分析即可判断.
解答过程：对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确；
对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误；
对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确；
对于D，由可得，结合余弦函数的图象知，
当时，满足，但是不是钝角,故D错误.
故选：AC.
10. 在展开式中（ ）
A. 展开式中不存在含的项B. 展开式所有项系数和为243
C. 展开式中含项的系数为30D. 展开式共21项
答案：BCD
解析：
思路：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，即可判断A，令，即可得到展开式的系数和，从而判断B，含项是在个中选个，个，个，根据组合数公式判断C，将问题转化为盒子中取元素，即可得到展开式的项数，即可判断D.
解答过程：表示个相乘，
含的项是在个中选个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故A错误；
令，则展开式所有项系数和为，故B正确；
含项是在个中选个，个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故C正确；
的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，
现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
若只选一个字母则有种，
若选个字母则有种，
若选个字母则有种，
故展开式共有项，故D正确；
故选：BCD
11. 已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是
A. B.
C. D. 有极小值点，且
答案：ABD
解析：
思路：求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.
解答过程：由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
则，且，
所以，解得，所以A项正确；
又由，
取，则，
所以，所以，所以B正确；
由，则，但不能确定，所以C不正确；
由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，且，所以D正确；
故选ABD.
方法提示：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其中解答中熟记导数在函数的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在二项式的展开式中，的系数为___________．
答案：
解析：
解答过程：2x2−1x5的展开式的通项为Tr+1=C5r2x25−r−1xr=−1r25−rC5rx10−3r，，
令，解得，
则的系数为−1325−3C53=−40 .
13. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有___________．
答案：72
解析：
思路：分选中甲和没有选中甲两种情况分别求解即可.
解答过程：当选中甲时，则只需从剩下的4人中选3人，先排甲，
共有种安排方法；
当没有选中甲时，则就是除甲外的4个人的全排列，
共有种安排方法；
所以一共有种安排方法.
14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
答案：18
解析：
思路：求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.
解答过程：由于，
故，
故，，
则
，
由，得，
由，即，知位于之间，
不妨设，则，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故则的最小值为18，
故18
方法提示：关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．

（1）求的值；
（2）证明：C，E，F，G四点共面．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得；
（2）求出，得到四点共面.
（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，

∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（2）证明：由（1）得：，因为，，
因为不共线，所以令，
即，解得，
∴.
故C，E，F，G四点共面.
16. 有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法
（2）一共抽取了次，检测结束，则有多少种不同的抽法
（3）若至多检测次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题意可得第次和第次为次品，第次测试为正品，由此求解即可；
（2）由题意可得前次有次为次品剩下次为正品，由此求解即可；
（3）分第次测出次、前次有次测出次品第次测出次品、前次有次测出次品第次测出次品三种情况求解即可.
（1）第次和第次为次品，第次测试为正品种；
（2）一共抽取次结束，
则前次有次为次品剩下次为正品，
第5次检测时，恰好满足找到全部2件次品或全部4件正品的条件，
因此前4次检测中有1件次品和3件正品，第5次检测的是剩下的2件产品（1次品，1正品）之一，
故不同的抽法有 C21C43A44A22=384 种；
（3）第次测出次品结束：；
前次有次测出次品第次测出次品结束：；
前次有次测出次品第次测出次品结束.
共有种.
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若2是的极小值点，求及函数的极值．
答案：（1）
（2），的极小值为，极大值为.
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义求函数在处的切线方程.
（2）法一：讨论函数的单调性，确定函数的极值，根据极小值确定，进而确定极大、极小值；法二：根据函数在处的导数为0，得到的值，再分别验证，保证在处取得极小值，求出的值，进而确定极大、极小值.
（1）当时，，则，
又，则，
即曲线在处的切线斜率，
故在处的切线方程为.
（2）法一：，
令，得或.
因为是函数的极小值点，所以必有，则，
当或时，，当时，.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
则时取极小值，即，此时，
则的极大值为，极小值为．
法二：，
2是的极小值点，则，得或6，
若时，，．
则当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
此时2是的极大值点，不符合题意，舍去．
若时，，，
则当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
故2是的极小值点，符合题意，
此时极小值为，极大值为．
综上所述，，且的极小值为，极大值为．
18. 设函数
（1）时，求函数的最大值.
（2）讨论的单调性.
（3）当时，证明.
答案：（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）求出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性，即可得出最大值；
（2）求出导函数，结合定义域和的正负分类讨论即可；
（3）由（2）的讨论得出，证明其小于等于即可.
（1）函数的定义域为，
当时，，
.
当时，单调递增，
当时，单调递减，
.
（2）定义域为，，
若，则在单调递增，
若则时，单调递增，
时，单调递减，
综上所述：时，在单调递增.
时，在单调递增，在单调递减.
（3）由（2）知，时，，
等价于，即.
设，，
当时，单调递增.
当时，单调递减，
，∴当时，，
从而时，，即
19. 已知，其中．
（1）求证：当时，；
（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；
（3）证明：，其中．
答案：（1）证明见解析
（2）当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）借助导数求导后，利用导数定义判断即可得；
（2）分及进行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在性定理判断即可得；
（3）令，可得，再累加求和即可得证.
（1），
令，则，
而且，所以，
即在上单调递增，，
所以，即在上单调递增，
所以；
（2）①时，，，
所以在上单调递增，又，
则此时有且仅有1个零点；
②时，在上小于0，在上大于0，
即在上单调递减，在上单调递增，
又且，则存在唯一的，
即在和上大于0，在上小于0，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又时，，
则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点，
此时函数有且仅有2个零点；
综上所述，当时，有且仅有1个零点；
当时，有且仅有2个零点；
（3）令，且时，得，再令，
代入化简可得，
则
，
则.