2025--2026学年甘肃省兰州市第六十中学高二下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年甘肃省兰州市第六十中学高二下册期中数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了 已知函数在处可导，且，则， 已知向量，则， 如图，在四面体中，， 如图，在平行六面体中，，，则， 若函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知向量，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
3. 已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 当时，的值域为
C. 只有一个零点
D. 曲线关于点对称
10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到直线的距离为
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调递减区间为
B. 存在，使得有三个零点
C. 当时，的极小值点为
D. 当时，曲线的对称中心为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________.
14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）（3）
（4）；
（5）；
（6）16. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
（1）若，证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
解析：
解答过程：因为，
所以.
2. 已知向量，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
答案：C
解析：
思路：根据数量积公式，代入求解，即可得答案.
解答过程：由题意，所以.
3. 已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角.
解答过程：∵，
，
∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为．
故选：C
4. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可.
解答过程：由为的中点，得，
所以.
故选：A
5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可.
解答过程：由得，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
由，得，
所以，解得.
故选：D.
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
答案：C
解析：
思路：由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
解答过程：由题意可知：，，
则，
因为，
则
，
所以.
故选：C.
7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.
解答过程：设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则.
.
设与平面所成的角为：则.
故到平面的距离为，即四棱锥的高为.
故选：D.
8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：将零点问题转化为交点问题，数形结合可解.
解答过程：函数在内有两个不同的零点，
即在内有两个不等实根.
设，，则，
由解得，
所以为上的减函数，为上的增函数.
则，
而当且时，；当时，.
如下图：
由题可知和有两个不同交点，所以有.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 当时，的值域为
C. 只有一个零点
D. 曲线关于点对称
答案：ACD
解析：
思路：求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性.
解答过程：由条件得：
选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确；
选项B：当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，
所以当时，的值域为，故B错误；
选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增，
即，
又，
所以只有一个零点，故C正确；
选项D：因为，
所以曲线关于点对称，故D正确；
故选：ACD.
10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到直线的距离为
答案：ACD
解析：
思路：先建立空间直角坐标系，求出各点坐标，转化几何问题为向量问题，再通过向量运算解决几何问题，验证选项的正确性.
解答过程：
过作，垂足为，则，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则：
，，，，，，即：
，，，，，所以：
选项A：，故，故A正确；
选项B：，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误；
选项C：设平面的法向量为，则：
令，得：，
设直线与平面所成角，则：
，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
选项D：设点到的距离为，
因为，
，，
则：，
即点到直线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调递减区间为
B. 存在，使得有三个零点
C. 当时，的极小值点为
D. 当时，曲线的对称中心为
答案：AD
解析：
思路：选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断.
解答过程：由，得，
对于A，当时，，令，即，
解得或，
当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确；
对于B，令，解得或，
又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
当时，恒成立，所以在区间上单调递减，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，，
所以不存在，使得有三个零点，故B错误；
对于C，令，解得或，
又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
当时，恒成立，所以在区间上单调递减，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，是函数的极小值点，故C错误；
对于D，当时，函数，曲线，
因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确.
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
答案：
解析：
思路：由空间向量的减法运算及模运算求解.
解答过程：,则.
故答案为:
13. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________.
答案：
解析：
思路：直接根据投影向量公式求解.
解答过程：根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为.
故
14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________.
答案：
解析：
思路：利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可.
解答过程：设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，
设直线与平面所成角为，所以，
所以，
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）（3）
（4）；
（5）；
（6）答案：（1）
（2） （3）
（4） （5）
（6）解析：
思路：根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案.
（1）由，得.
（2）由为常数，得.
（3）由，得.
（4）由，得.
（5）由，得.
（6）由，令，得，
则.
16. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
答案：（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为，．
解析：
思路：（1）求得函数的导数，确定切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求得导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．
（1）由题意可得，此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）已知，，函数定义域为，
令，即，得或，
令，即，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．
17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论.
（2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论.
（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
法一：，
设平面的一个法向量为，由，
取，得，所以，故，
又平面，所以平面；
法二：，所以，故，
又平面，平面，所以平面；
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
由，得，故平面平面.
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
答案：（1）单调递增区间为；递减区间为
（2）解析：
思路：（1）利用导数判断函数的单调性；
（2）根据函数的单调性求最值.
（1）易知函数的定义域为，
令，得或，
令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数的单调递增区间为；递减区间为.
（2）由（1）得，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
（1）若，证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
（1）如图连接交于点，连接
因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以 ，
又因为平面，平面,
所以平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则,，
则,，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，得，
所以，解得或（舍）
所以的值为.