2025--2026学年甘肃兰州市第二中学等校高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃兰州市第二中学等校高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线的斜率为， 若，，则， 下列求导运算正确的是， 已知，则， 曲线上的点到直线的最短距离是等内容，欢迎下载使用。
1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. 0B. 1C. eD.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则 （ ）
A. 1B. C. D.
6. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. 2C. D.
8. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与夹角的余弦值为
C. ⊥
D.
二､多选题（本大题共3小愿，每小题6分，共18分在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 函数在处取得最小值
C. 函数在处切线的斜率小于零
D. 函数在区间上单调递增
10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
11. 已知函数，则（ ）．
A. 的递增区间为B. 极大值为
C. 的极大值点为eD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知空间向量，，则___________.
13. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则______．

14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．

（1）求证：：
（2）求证：平面.
17. 已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）讨论函数的零点个数.
19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
数学
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小愿给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. 0B. 1C. eD.
答案：B
解析：
思路：根据导数的几何意义，即可求解.
解答过程：因为，所以，
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1.
故选：B
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可.
解答过程：，
故选：C
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则即可求解.
解答过程：对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确；
对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误；
对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误；
对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误.
故选：A.
4. 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可.
解答过程：由题设，，
若是平面ABC的一个法向量，则，
取，则.
故选：A
5. 已知，则 （ ）
A. 1B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分离系数，再根据导数定义即可得到答案.
解答过程：由题意有.
故选：D.
6. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：
，
，，，
,
．
7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：先求出导函数，再根据切线斜率得出切点，进而应用点到直线距离公式计算求解.
解答过程：因为，所以当切点满足斜率时，曲线上的点到直线的距离是最短距离，
所以，所以切点为，所以切点到直线的距离是，
所以曲线上的点到直线的最短距离是.
故选：A.
8. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与夹角的余弦值为
C. ⊥
D.
答案：D
解析：
思路：AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误.
解答过程：AD选项，，
故，故，A错误，D正确；
BC选项，，
故，
故与夹角的余弦值为，BC均错误.
故选：D
二､多选题（本大题共3小愿，每小题6分，共18分在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点
B. 函数在处取得最小值
C. 函数在处切线的斜率小于零
D. 函数在区间上单调递增
答案：AD
解析：
思路：由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解.
解答过程：由图可得当时，；
当时，，当且仅当时.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确，
函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误.
故选：AD.
10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
答案：BCD
解析：
思路：由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确.
解答过程：由，则直线平面或，故错误；
由，则平面平面，故正确；
若，设平面和平面所成角为，且，
则，
所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；
设直线与平面所成角为，
则，且，
所以直线与平面所成角的大小为，故正确.
故选.
11. 已知函数，则（ ）．
A. 的递增区间为B. 极大值为
C. 的极大值点为eD.
答案：BCD
解析：
思路：先求定义域，再求导，利用导函数求出单调区间和极值点，极值，判断出ABC选项，根据单调性判断D选项.
解答过程：函数的定义域为，．
令，解得．列表：
对于A：的递增区间为，故A错误；
对于B：由上表可知，极大值为，故B正确；
对于C：的极大值点为，故C正确；
对于D：因为的递增区间为且，
所以成立．故D正确．
故选：BCD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知空间向量，，则___________.
答案：6
解析：
思路：利用空间向量数量积运算法则计算即可.
解答过程.
故6
13. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则______．

答案：3
解析：
思路：建立如图所示的空间直角坐标系，由向量数量积的坐标表示计算.
解答过程：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，．因为，，
所以．
故3.

14. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________.
答案：
解析：
思路：利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可.
解答过程：设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，
设直线与平面所成角为，所以，
所以，
故答案为.
四､解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
答案：（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为．
解析：
思路：（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程；
（2）求导，解不等式得到单调区间.
（1）∵，∴，
且，∴，
∴函数在点处的切线方程为，即．
（2）∵的定义域为R，
∴由（1）得．
令，解得，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
16. 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．

（1）求证：：
（2）求证：平面.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证；
（2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面.
（1）如图建立空间直角坐标系，
则，
则，
由，
可得，得证.
（2）设平面的法向量为，因，
则，令，可得，
因，故得，
又平面，所以，平面.
17. 已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
答案：(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.
解析：
解答过程：试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
18. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）讨论函数的零点个数.
答案：（1）
（2）答案见解析
解析：
思路：（1）利用导数的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可.
（1）由，
令，或，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数在时，极小值为，极大值为，
而，
所以函数在时，最大值为，最小值为，
所以函数在时，值域为
（2）函数，
函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题，
结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象，
当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点，
当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点，
当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点，
综上所述：当，或时，函数没有零点，
当，或时，函数有个零点，
当时，函数有个零点.
19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）连接平行四边形的对角线，交于，可得，进而可证得平面；
（2）根据几何体特征，可得，，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合空间点到平面的距离公式，即可求解；
（3）由（2）建立的空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合面面角的向量求法，即可求解.
（1）连接平行四边形的对角线，交于，
在中，是的中点，是中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）由已知，，，，
在中，由余弦定理得，
则，由勾股定理，则，
又底面，平面，则有，，
所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标，则，，，，，

的中点，，，
设平面法向量为，
则，取，则，，故，
，则点与平面的距离.
（3）由（2）得，
，，设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
平面与平面所成锐二面角余弦值为.
x
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减