2025--2026学年甘肃省兰州市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年甘肃省兰州市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了 样本数据的第75百分位数为，5B， 已知向量，，若，则|， 已知，则， 已知，则下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 样本数据的第75百分位数为（ ）
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
3. 已知向量，，若，则|（ ）
A. 2B. C. 3D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A. B. C. 2D.
8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得3分.有错误选项得0分.）
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若复数z为纯虚数，则
D. 若为复数，则
10. 已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 若，则为锐角三角形
三､填空题
12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．
13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______.
14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．
四､解答题
15. 已知向量，，.
（1）若，求在上的投影数量；
（2）若与的夹角为，求的值.
16. 2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；
（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数.
17. 已知平面向量，，设函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值．
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角.
（1）若向量，，求的值；
（2）若向量，满足，且，求的取值范围；
（3）若，，且，，求的值.
数学
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由复数模的性质及共轭复数的性质可得.
解答过程：根据复数模的性质，
所以，即，,
所以，又由共轭复数的性质得.
​
2. 样本数据的第75百分位数为（ ）
A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9
答案：C
解析：
思路：利用总体百分位数的估计求解即可.
解答过程：由题意得数据共8个，则，
因此第75百分位数为，故C正确.
故选：C．
3. 已知向量，，若，则|（ ）
A. 2B. C. 3D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.
解答过程：因为向量，，且，所以，解得，
所以，所以．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题意得，
则
5. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量的线性运算求解即可.
解答过程：因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由辅助角公式变形后得到，再由奇函数的性质结合正弦函数的诱导公式求出即可.
解答过程：因为，
则，
因为为奇函数，所以，
所以，
即，
所以，，
所以，
所以最小值为，
故选：D
7. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A. B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.
解答过程：如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．

8. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围.
解答过程：设正方形的内切圆圆心为，如图所示：
当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则.
，.
圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则，
所以.
二､多选题（本大题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得3分.有错误选项得0分.）
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若复数z为纯虚数，则
D. 若为复数，则
答案：BC
解析：
思路：对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据复数的运算可得，进而可得虚部；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算结合模长根式运算求解.
解答过程：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：复数的虚部为，故B错误；
对于选项C：例如是纯虚数，则，，即，故C错误；
对于选项D：设，
则，，，
可得，
所以，故D正确.
10. 已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：由两边平方即可判断A项；利用A项结论可求出，再缩小角范围即得B项；将与的值联立求出，再运用倍角公式和商数关系即得C，D项.
解答过程：对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；
对于选项B，由，可得：，故，
由可得：，故B项错误；
对于选项C，，故C项错误；
对于选项D，由，可解得：，
故得.故D项正确.
故选：AD.
11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，且有两解，则的取值范围是
D. 若，则为锐角三角形
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，由正弦定理，得，。
由可得，故A正确；
对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即，
由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确；
对于C， 过作边射线的垂线，垂足为，如图，

若，且有两解，则，即，故C正确；
对于D，将不等式变形为，则
化简得，由正弦定理，可得，
再由余弦定理，，可知角为锐角，
但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，，
由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误.
三､填空题
12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．
答案：
解析：
思路：利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值.
解答过程：由向量共线，根据平面向量共线定理可得，
化简得：，
所以，解得，
因此.
13. 设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______.
答案：
解析：
思路：先利用余弦定理求出边，再根据结合三角形的面积公式即可得解.
解答过程：因为，由余弦定理知，
即，解得或（舍去），
因为为的角平分线，
所以，
即，解得.
14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．
答案：
解析：
解答过程：已知，，，则，
由正弦定理得，则，
，
已知，，
，故．
四､解答题
15. 已知向量，，.
（1）若，求在上的投影数量；
（2）若与的夹角为，求的值.
答案：（1）.
（2）或.
解析：
思路：（1）由“垂直”可转化为数量积为，先求出，再利用投影数量公式求投影数量.
（2）直接利用向量夹角公式建立方程求解.
（1）因为所以
又所以
即化简得所以
从而于是
且
故在上的投影数量为
（2）由题意，
又因为与的夹角为，所以
计算得
因此两边平方，得
展开整理：即
解得所以或，检验符合.
16. 2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；
（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出；
（2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数；
（3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解.
（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是
各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以
化简得即即即
所以图中
（2）由第（1）问可得
因此各组的频率分别为
对应这名学生的人数分别为
各组的组中值分别为
所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为
计算得
所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分.
（3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为
成绩在内的人数为
所以成绩在内的总人数为
现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人，
则成绩在内被抽取的人数为
所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为
17. 已知平面向量，，设函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值．
答案：（1），，
（2）或．
解析：
思路：（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得；
（2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得.
（1）由
，
故该函数的最小正周期为，
对称轴方程满足，解得，．
故函数的最小正周期为；对称轴方程为，．
（2）由得，即，
，则，故，解得，
由余弦定理得，代入得，
化简得，解得或，经检验均符合题意．
故或.
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；
（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.
（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.
（1）在中，因为，
所以，即，
因为所以，故 ，则；
（2）因为的面积为，即，
所以.
由余弦定理得.
解得, 所以周长为.
（3）由正弦定理得，即，
则，
因为为锐角三角形，则 ，故，
所以，则，
故，
故周长的取值范围为.
19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角.
（1）若向量，，求的值；
（2）若向量，满足，且，求的取值范围；
（3）若，，且，，求的值.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
思路：（1）由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标表示求，，再结合向量夹角范围和夹角公式求向量夹角，利用新定义求结论；
（2）由条件结合定义可得，，由此可得结论；
（3）由条件结合定义可得，由此可得，再证明，结合条件求结论.
（1）因为，，
所以，，，
则，
又，所以，，所以.
（2）由题意，
又因为，解得，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，，所以，，
所以，
由题意知，存在，使得，即，所以，
所以，即，
又，所以，即，所以，
所以，
又存在，使得，即，所以，
所以，所以.