2025--2026学年甘肃兰州亚西亚中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃兰州亚西亚中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线方程为， 已知函数，则， 下列求导运算正确的是， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( )
①+2+2;②2+2+3+3;③;④.
A. ①②B. ②③
C. ②④D. ①④
2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
7. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ）
A. 0B. C. D.
8. 已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，共18分）
9. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. B. C. D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. 设函数，且，则
C. 若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）

A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为
三､填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．
13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.
14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
16. 已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值：
（2）求的极值．
17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
18. 在三棱锥中，，，为中点，平面平面.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
19. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
（2）多大时，盒子的容积最大?
数学
一､单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( )
①+2+2;②2+2+3+3;③;④.
A. ①②B. ②③
C. ②④D. ①④
答案：C
解析：
思路：无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算．
解答过程：①===；
②==；
③=；
④=表示恰好形成一个回路，结果必为；
综上可知答案选C．
方法提示：本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题．
2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.
解答过程：由已知可得，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：D.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以切线的斜率为，
故所求切线的方程为，即．
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解.
解答过程：由可得，，
．
故选：C
5. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：B
解析：
思路：通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论.
解答过程：由题意，
选项A，若，共线，，A错误；
选项B，若，垂直，则，B正确；
选项C，若，共线，，C错误；
选项D，若，共线，，D错误.
6. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：D
解析：
思路：直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可．
解答过程：对于A，，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：D．
7. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ）
A. 0B. C. D.
答案：A
解析：
思路：设，利用基底表示，计算.
解答过程：设，则，，
因为，，
则，
则，故直线与所成角的余弦值为.
故选：A
8. 已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案.
解答过程：令，则，即在上单调递减．
由，得，
则，
得，所以，得，
所以原不等式的解集为.
故选：D.
二､多选题（本大题共3小题，共18分）
9. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
思路：求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
解答过程：函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
10. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. 设函数，且，则
C. 若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
答案：BD
解析：
思路：根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求.
解答过程：对于A，，故A错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于B，若，故，故，故B正确；
对于D，，故，
故，故D正确；
故选：BD.
11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）

A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为
答案：BD
解析：
思路：A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积．
解答过程：因为，
则
，故，A错误；
，，
，故，B正确；

连接，
则，
，
即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；

过作面，在直线上，过作于，连接，
由平面，得平面，平面，得，
故，，，
故平行六面体的体积为，D正确．
故选：BD．
三､填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．
答案：
解析：
思路：应用向量法求点线距离即可.
解答过程：由题设，则A到直线的距离.
故
13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.
答案：2
解析：
思路：先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解.
解答过程：设，则，又，所以，
则切线方程为，
设，则，令，解得，
所以.
故2
14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______.
答案：
解析：
解答过程：因为，且，都有，
所以，即，
所以在上单调递增，
又，
所以对所有恒成立，
所以，
解得，
所以实数m的取值范围为．
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）利用空间向量的线性运算，再结合数量积运算，即可求模；
（2）利用向量的数量积来求异面直线夹角余弦值即可.
（1）由，
因为，，，，，
所以
则，
即；
（2）由，
所以,
故和夹角的余弦值为．
16. 已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值：
（2）求的极值．
答案：（1）
（2）极大值为，无极小值.
解析：
思路：（1） 利用导数的几何意义来求参数；
（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.
（1）由题意得：，
因为在处的切线与直线平行，
所以，故.
（2）由（1）得：，定义域为，
令，得，则，，的变化情况如下表：
故的极大值为，无极小值.
17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论.
（2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论.
（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
法一：，
设平面的一个法向量为，由，
取，得，所以，故，
又平面，所以平面；
法二：，所以，故，
又平面，平面，所以平面；
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
由，得，故平面平面.
18. 在三棱锥中，，，为中点，平面平面.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用线面垂直的性质定理以及线段垂直平分线的性质证明即可；
（2）利用余弦定理、三角形面积公式以及锥体的体积公式计算即可；
（3）建立空间直角坐标系，结合几何性质求出相关长度，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.
（1）因为，点为中点，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
又点为中点，所以是线段的垂直平分线，所以.
（2）由（1）知，点为中点，
所以，所以.
在中，.
在中，cs∠PMB=PM2+BM2−PB22×PM⋅BM=322+122−322×32×12=−13.
又∠PMB∈0,π，所以sin∠PMB=1−cs2∠PMB=1−−132=223，
所以.
由，，平面，点为中点，
所以三棱锥的体积为：
.
（3）由平面平面，，
所以以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意可知轴所在直线在平面内，
所以，
设，则在平面中，因为，所以为钝角，
过作垂直于的延长线于点，如图所示：
由，所以cs∠PMQ=csπ−∠PMB=−cs∠PMB=−−13=13，
在直角三角形中，，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，又，
则PA⋅n=0AC⋅n=0⇒12x1−32y1−2z1=03y1=0，
令，，所以n=4,0,2，
设平面的一个法向量为，又，
则PB⋅m=0BC⋅m=0⇒x2−2z2=0−12x2+32y2=0，
令，，所以m=3,3,322，
设平面与平面所成的夹角为，
所以csθ=cs=n→⋅m→n→m→=4×3+0×3+2×32242+02+22×32+32+3222=1532×662=53333.
19. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
（2）多大时，盒子的容积最大?
答案：（1），.
（2）解析：
思路：（1）求出盒子的高与底面积，即可得到盒子的容积；
（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.
（1）如图，易得，，，则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，.
（2）由（1）可得，，
所以，令，解得，（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大.0
单调递增
单调递减