2025--2026学年甘肃兰州第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃兰州第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
5. 在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 或B.
C. D. 该三角形的面积为
10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则有两解
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 周长取值范围为
D. 和面积之差的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.
13. 在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______．
14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤›
15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；
（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；
（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）若，，求c；
（2）若的面积为，，求a．
18. 已知向量，，，设函数；
（1）求的最小正周期与单调递增区间；
（2）对，不等式恒成立，求的取值范围．
19. 已知正边形的外接圆的圆心为，半径为.
（1）设，
（i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长；
（ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围；
（2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）.
数学
满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以.
2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因是线段上的靠近A的三等分点，则.
3. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
解析：
思路：根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值.
解答过程：，，则，
由得，解得.
故选：D.
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：
思路：利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可.
解答过程：在中，由余弦定理得，整理得，
而，函数在上单调递减，因此，
所以是等腰三角形.
故选：C
5. 在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可.
解答过程：因为，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故选：
6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意，在中，，，所以.
在中，，，
所以，
由正弦定理，.
又为等腰直角三角形，所以.
故选项B正确.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：直接根据诱导公式计算可得结果.
解答过程：因为，
所以由诱导公式得．
故选：A
8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
解答过程：由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或（舍去），得，
因为是锐角三角形，
故，
解得，故，
.
故选：C.
方法提示：关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 或B.
C. D. 该三角形的面积为
答案：BC
解析：
思路：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项.
解答过程：由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，所以，
由于，所以，所以，
三角形的面积为，
故BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
10. （多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则有两解
答案：ACD
解析：
思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.
解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，，故边最长，角最大.
设，
则.
所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确；
对于D，，
因为，故，结合可得，
根据正弦定理
由正弦函数的性质可知有两解，
所以有两解，故D正确.
故选：ACD.
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 周长取值范围为
D. 和面积之差的取值范围为
答案：ACD
解析：
思路：对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解.
解答过程：对A：由与正弦定理可得，
即，，，
又，故，故A正确；
对B：，所以由正弦定理，可得 ， ①
又因为，即，即， ②
将①代入②可得，解得，选项B错误；
对C：由正弦定理，，故：
展开，得：，
周长，
利用三角恒等变换，
结合，得，故：，故选项C正确；
对D：设外接圆半径为，则，且，即，
因为，
所以，
，
所以，
由，则，所以，
则
和面积之差的取值范围为，故选项D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.
答案：20
解析：
思路：由中位数及平均数定义求得这四个数的中位数和平均数，然后建立方程求得，即可求得答案.
解答过程：中位数为，平均数为，
由题意得，则，
∴，
故20.
13. 在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______．
答案：##
解析：
思路：根据余弦定理计算即可.
解答过程：因为，
所以由余弦定理可得.
故
14. 在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________．
答案：
解析：
思路：由利用面积公式和数量积可得，由利用正弦定理结合三角恒等变换可得，由可得，由三点共线的可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解.
解答过程：设角所对的边分别为，
因为，则，可得，
且，所以，
因为，即，可得，
由正弦定理可得，
又因为
且，
可得
，
则，
因为，则，可得，
且，则，可得，可得，
则，可知为等腰直角三角形，
由，可得，
因为，
且为线段上一点，则，且，
设，
则，
且，
可得，所以的最大值为.
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤›
15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；
（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；
（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．
答案：（1）
（2） （3）15.3125
解析：
思路：（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值.
（2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数.
（3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数.
（1）由频率分布直方图可知，解得．
（2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为，
则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为．
（3）因为，
所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内．
设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则，
解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125．
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用两角和的正弦公式化简求值；
（2）根据两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求值.
（1）.
（2）.
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）若，，求c；
（2）若的面积为，，求a．
答案：（1）2 （2）
解析：
思路：（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.
（1）因为，，所以，
由正弦定理，可得.
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
18. 已知向量，，，设函数；
（1）求的最小正周期与单调递增区间；
（2）对，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：（1），，
（2）解析：
思路：（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解；
（2）参变分离转化为函数的最值问题.
（1） ，
，
由，得， ，
故的递增区间为，；
（2），恒成立
由，得，
故时，，，
实数的取值范围是.
19. 已知正边形的外接圆的圆心为，半径为.
（1）设，
（i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长；
（ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围；
（2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）.
答案：（1）（i）；（ii）
（2）证明见解析，定值为
解析：
思路：（1）（i）计算，再利用两角和差的正切公式计算，结合基本不等式即可；
（ii）过点过，交的延长线于点S，根据求的最值即可；
（2）根据求出，再结合即可化简求证.
（1）若，在正八边形中，，
（i）因，则，
则
，当且仅当，时，等号成立，
此时最大，的长为.

（ii）点为正八边形的中心，，故
取的中点，连接，则，
其中，故，
故，
过点过，交的延长线于点S，
当点在上运动时，因，则，则四点共线，
则，
，
则
， 此时为最大值，
当点在上运动时，，
当与重合时，取得最小值，最小值为，
所以的范围是.
（2）因为，
所以，
对于正边形，其中心角为， 设，
逆时针旋转后得到的新向量作和后得到，
则即为将逆时针旋转后得到，由正多边形的性质可得，
所以，
所以为定值.