2025--2026学年甘肃兰州大学附属中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃兰州大学附属中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若实数，则等于( )
A. 32B. －32C. 1 024D. 512
3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ）
A. B. 7C. 8D. 9
5. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. -90B. 97C. 160D. -145
6. 若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数和为64B.
C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数既存在极大值又存在极小值
B. 函数存在3个不同的零点
C. 函数的最小值是
D. 若函数有两个不同的零点，则或
11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ）
A. 平面EAD 平面FCB
B. 平面EAD 平面ECB
C. 异面直线与所成的角为
D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡对应的横线上．
12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．
13. 已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是___________．
14. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值.
16. 如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求证：平面；
（2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；
（3）求三棱锥的体积.
19. 已知
（1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：求出的值，再利用导数的定义可求得的值.
解答过程：因为，则，故，
所以
.
2. 若实数，则等于( )
A. 32B. －32C. 1 024D. 512
答案：A
解析：
解答过程：由题意可得：
本题选择A选项.
3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先求导，即可求和，即可求得切线方程.
解答过程：由，得，
则，
则，
所以切线方程为.
故选：A.
4. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ）
A. B. 7C. 8D. 9
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
解答过程：依题意，，而，
所以.
5. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. -90B. 97C. 160D. -145
答案：C
解析：
思路：先利用二项式展开式的通项，拆分出项的构成，列方程求出参数的值，再通过赋值法（令）计算展开式所有项的系数和.
解答过程：的展开式通项为.
中项由两部分构成：与.
因此的系数为.
由题意，解得.
令，得展开式所有项的系数和为.
6. 若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：对给定不等式同构变形，构造函数并利用单调性得恒成立，再分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可.
解答过程：依题意，不等式，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
不等式，则，而，
于是恒成立，令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，
因此，解得，又，则，
所以的取值范围为.
7. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可.
解答过程：以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
因为，分别是棱，的中点，所以，.
因为点是线段的中点，所以.
所以，，
所以点到直线的距离为
.
故选：D.
8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：试题分析：函数等价于图像上的点与直线上的点的距离的平方
设，则
令，即，解得
到直线的距离为
即上的点与上的点最短距离为，此时，即
因为存在，使得成立
所以
即，解得
故答案选
考点：导数的几何意义；不等式能成立问题．
【命题意图】本题考查了函数的能成立、导数的几何意义以及两点间的最短距离，考查考生的问题的转化能力、数形结合和计算能力，不等式中的能成立问题通常是转化为最值问题，这也是解决此题的关键点．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数和为64B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：利用二项式系数和的公式可判断A，利用通项可判断B，分别令和联立化简可判断C，对两边求导，然后令可判断D.
解答过程：对于A，展开式中二项式系数和为，故A正确；
对于B，展开式的通项为，
令，则，故B错误；
对于C，令，则，
令，，
所以，故C正确；
对两边求导，得
，令，可得
，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数既存在极大值又存在极小值
B. 函数存在3个不同的零点
C. 函数的最小值是
D. 若函数有两个不同的零点，则或
答案：ACD
解析：
思路：对于函数的极值，需要通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点，对于函数的零点，可结合函数的单调性和特殊点的值来判断，对于函数的零点问题，可转化为函数与直线的交点问题.
解答过程：因为，所以，
令，
令，令，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减.
所以是极小值点，是极大值点.
即既存在极大值又存在极小值，故A正确.
由选项A可知，，
可得，
当时，且，
同理，当时，，
所以函数在和上各有一个零点，共两个零点，所以B不正确.
由选项A和B，可知
且当时，，所以的最小值是，故C正确.
函数有两个不同的零点，即有两个不同的解.
即函数与的图像有两个不同的交点，
由选项A和B，可知，结合图像可以看出，
当时，函数与的图像有两个不同的交点，
当时，函数与的图像有两个不同的交点，故选项D正确.
11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ）
A. 平面EAD 平面FCB
B. 平面EAD 平面ECB
C. 异面直线与所成的角为
D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围
答案：ACD
解析：
思路：证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D
解答过程：连接AC、BD、EF，
根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点，
所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以，
又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD，
平面EAD，平面EAD，所以平面EAD，
FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F，
所以平面EAD//平面FCB，故A对；
分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O，
由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE，
又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，
因为都是等边三角形，所以，
所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，
设，则，，，
所以，故B错误；
由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以，
则直线与所成的角即为BF与CF所成角，
正中，，故异面直线与所成的角为，故C对；
根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令，
则，
所以，
设平面FAD的一个法向量为，则，
所以，即，令，则，
所以平面FAD的一个法向量为，
因为点P为棱上的动点，
所以设，
则，
设直线AP与平面FAD 成的角为，
，
又，
当时，，当或0时，，
故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对；
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡对应的横线上．
12. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．
答案：
解析：
思路：根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，进而求出展开式的通项公式即可.
解答过程：由的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，得展开式共11项，即，解得，
则的展开式通项，
由，得，所以展开式中的系数为.
13. 已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是___________．
答案：##
解析：
解答过程：依题意，平面的法向量，直线的方向向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
14. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________.
答案：
解析：
思路：变形，构造函数，根据单调性即可求解.
解答过程：由题意得，，，
令,
则在上单调递增,且,
由,得,即,
所以，解得,
故答案为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值.
答案：（1），单调递增区间为，单调递减区间为
（2）最大值为2，最小值为
解析：
思路：（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
（1），
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
又，
故的最大值为2，最小值为.
16. 如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得直线平面；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，，
则，取，可得，
所以，，，
平面，所以，平面.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
答案：（1）答案见解析
（2）解析：
思路：(1)首先求出的两个根，通过分类讨论参数的取值范围，求出的单调区间；
(2)首先结合已知条件求出过点的切线方程，然后通过分离参数，并构造新函数，利用新函数的性质求解即可.
（1），令，得，；
当即时，在和上单调递增，上单调递减；
当即时，，在上单调递增；
当即时，在和上单调递增，上单调递减.
（2）由，，可得，
所以，，
设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率为，所以切线方程为，
因为点在切线上，所以，即。
设，过点可作曲线的三条切线，即与的图像有三个交点，
因为，令，解得或，
所以当或时，；当时，，
在和上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，极大值为，
则的大致图像如下：
从而由与的图像有三个交点，可得，所以实数的取值范围是.
18. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求证：平面；
（2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值；
（3）求三棱锥的体积.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行.
证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面
内,从而证得线面平行.
（2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度.
解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度.
（3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 .
解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果.
（1）证法一：连接与交于点，再连接，
因为，
所以
因为，所以，
所以，
又因为平面，所以平面
证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则.
设是平面的一个法向量，
，则，
令，则，平面的一个法向量为.
因为，所以，
又因为平面，所以平面
（2）解法一：
设，得，
，
设直线与平面所成角为，则
，
化简得，因为，得，
，所以线段的值为.
解法二：
设，得，
，
设直线与平面所成角为，则
，
化简得，因为，得，，所以线段的值为.
（3）解法一：
因为，所以，
解法二：由（1）所建立的坐标系可得.
则
故由余弦定理可得
所以，
由（1）得,平面的一个法向量为.
点到平面的距离.
19. 已知
（1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
答案：（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.
（2）（i）求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可.
（ii）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.
（1）函数的定义域为，.
因为函数在区间单调递减，所以.
则，化简得.
解得.
（2）（i）由题意，的定义域为，，
因为有两个极值点，
所以方程即在上有两不等实根，
即函数在上有两不同零点，
因此只需，解得，即实数的取值范围是；
（ii）由（i）知，，，，
所以
，
因此要证，即证，
即证，
构造函数，，
则，
又在上为减函数，所以在上单调递减，
又，，
由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即；
所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以，
又在上显然单调递增，
所以，
所以，即，
故.
1
+
0
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0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增