2025--2026学年陕西西安中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西西安中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A. 180B. 160C. 96D. 60
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数y=的图象可能是
A. B.
C. D.
7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共14分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ）
A. B. C. D.
10. [多选题]下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种
11. 对于随机事件，若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A. f(x)是偶函数`B. f(x)在区间单调递增
C. f(x)在[－π，π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题3.5分，共14分.
13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______．
14. (x2−12x)9展开式第4项的系数为________.
15. 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______．
16. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象.求函数的解析式，并求在上的单调递增区间.
19. 已知，.
（1）解关于x的不等式；
（2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值.
20. 已知函数是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围．
21. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
数学
）
一、单选题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求出，利用交集概念求出答案.
解答过程：由题意得，，则．
故选：A．
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：C
解析：
解答过程：命题，的否定是：，.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案.
解答过程：由，可得或，
又集合是集合或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A. 180B. 160C. 96D. 60
答案：A
解析：
思路：按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.
解答过程：首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为
种
故选:A
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B.
解答过程：利用诱导公式化简：
已知角的终边经过点，可得，且.
分子分母同时除以：
.
故选：B
6. 函数y=的图象可能是
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
解答过程：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
8. 某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先计算出总事件数，再对观看电影D的人数分类讨论，第一种：2人同看电影D，第二种2人同看的电影不是D.最后结合古典概型的概率公式求解.
解答过程：总事件数：小帅看电影D，其余3名同学可以从4部电影中任选1部，所以总事件数为
“恰有两人看同一部电影”，分两种情况讨论：
1）2人同看电影D：C31A32=18
2）2人同看的电影不是D：C32C31C21=18
所以恰有两人看同一部电影的概率为：P=C31A32+C32C31C2143=18+1864=916.
二、多选题：本题共4小题，共14分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ）
A. B. C. D.
答案：BC
解析：
思路：A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图像的平移变换判断；
C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图像的平移变换判断；
解答过程：A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；
B选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意；
C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减， 上单调递增，符合题意；
D选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。
故选：BC
10. [多选题]下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，每人一张，则分法有种
答案：ABC
解析：
思路：由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D．
解答过程：A项，，正确；
B项，h，e，r，的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；
C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；
D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．
故选：ABC.
11. 对于随机事件，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解．
解答过程：对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确．
12. 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A. f(x)是偶函数`B. f(x)在区间单调递增
C. f(x)在[－π，π]有4个零点D. f(x)的最大值为2
答案：AD
解析：
思路：根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.
解答过程：A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题3.5分，共14分.
13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______．
答案：
解析：
思路：由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可.
解答过程：由题设，可得，则或，
当，则为奇函数，满足题设；
当，则为偶函数，不满足题设.
所以.
故
14. 展开式第4项的系数为________.
答案：
解析：
解答过程：展开式第4项的系数为C93(−12)3=−212.
15. 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______．
答案：##0.5
解析：
解答过程：设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，
则.
故答案为.
16. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答）
答案：78
解析：
思路：先排有约束条件的元素，因为要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，所以需要针对于不最后一个出场的歌手第一个出场，不最后一个出场的歌手不第一个出场，根据分类计数原理得到结果.
解答过程：分两种情况：
当不最后一个出场的歌手第一个出场时，有种排法；
当不最后一个出场的歌手不第一个出场时，有种排法；
则共有种不同的排放.
故78.
四、解答题：本题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
（1）因为展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大，可知为偶数，
有，所以.
（2）由（1）知(3x−2)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10
令，得，
令，得，
所以.
18. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象.求函数的解析式，并求在上的单调递增区间.
答案：（1）；
（2）g(x)=2sin4x−π3，0,5π24.
解析：
思路：（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再利用正弦函数的性质求其值域；
（2）先求函数的解析式，再利用正弦函数的性质求其单调增区间.
（1），
因，则，，，
故在上的值域为.
（2）将函数图象上各点的横坐标缩小到原来的，得到函数，
再向右平移个单位，得到函数gx=2sin4x−π6+π3=2sin4x−π3，
由，，可得，，
即，，又，
故在上的单调递增区间为0,5π24.
19. 已知，.
（1）解关于x的不等式；
（2）若是方程的两个实数根，且，求的最小值.
答案：（1）答案见解析；
（2）0
解析：
思路：（1）根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式即可.
（2）整理方程，利用韦达定理及基本不等式求解即得.
（1）依题意，，
当时，解得或；当时，解得或；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）依题意，方程，，
，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为0.
20. 已知函数是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围．
答案：(1) ； (2)证明见详解； (3) .
解析：
思路：(1)由可直接求出结果；
(2)设，再通过作差判断的符号即可判断单调性；
(3)首先根据奇函数转变为，再根据单调性转化为，最后参变分离即可求解..
解答过程：(1)∵是R上的奇函数
∴，即：，∴.
(2)由(1)知，∴在上单调递增.
证明：设，则
∵，∴
又∵，
∴
∴即
∴在上单调递增.
(3) ∵
∴
∵是R上的奇函数，∴
即
由(2)知在上单调递增
∴
故对任意实数恒成立
由得，∴
∴，则
∴
方法提示：定义法判断函数单调性的一般步骤：
1.取值，设，且；
2.作差，求；
3.变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；
4.判断的正负符号；
5.根据函数单调性定义下结论.
21. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）利用全概率公式计算求解即可.
（2）利用贝叶斯公式计算求解即可.
（3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.
（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.