2025--2026学年甘肃省白银市实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年甘肃省白银市实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.3
2. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（ ）
A. 84B. 126C. 42D. 63
5. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）．
A. B. C. D.
8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立B.
C. D.
11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
12. 的展开式的常数项为______．
13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________．
14. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________．
四、解答题
15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值；
（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
16. 已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
17. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙.
（1）求证：平面平面；
（2）若点是线段上的动点，且满足.
①若求平面与平面夹角的余弦值；
②若平面与平面的夹角为求λ的值.
18. 已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.
19. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
数学
考试时间120分钟，满分150分
一、单选题
1. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.3
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以，
又因为，且，
所以.
2. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先由韦达定理判断出，，再根据等比数列的性质求出并判断它的正负即可得解.
解答过程：因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可得，所以，.
因为为等比数列，所以，解得.
若，则，不符合要求，故.
3. 已知函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求导即可得解.
解答过程：由可得，
故，
故，
故选：A
4. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（ ）
A. 84B. 126C. 42D. 63
答案：B
解析：
思路：根据题意分两种情况计算，第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目，第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目，然后结合排列组合代入计算，即可求解.
解答过程：由题意可得4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，分两种情况，
第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目，
且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种；
第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目，
且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种；
则不同的安排种数为种.
故选：B
5. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先由函数为增函数，得到其导函数在定义域内恒非负，分离参数转化为在上恒成立，再通过求导判断的单调性，求出其值域，进而确定的取值范围．
解答过程：，的定义域为，
根据题意得，整理得，
令，,
因为，所以，，因此，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为，
所以．
6. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：C
解析：
解答过程：设左顶点关于渐近线的对称点为，
则，解得，即，
已知在圆上，即，
化简得，代入化简得：，
，
，解得（舍去）或，
双曲线的离心率为2．
7. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）．
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先由求出,再由求出，最后利用即可求解.
解答过程：设 为第 天选套餐， 为第 天选套餐，
则，
；
从而，
.
8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解.
解答过程：令，则，
，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以
，
要使存在，使得不等式 成立，则，
令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，
所以的取值范围是
二、多选题
9. 设，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：
思路：令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解.
解答过程：令，所以，
所以原式可变形为，
所以，故正确；
令，则，故正确；
令，则，
令，则，所以，故不正确；
令，则，
所以，故不正确.
故选.
10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D．
解答过程：对于A：因为，，而，
所以事件与不相互独立，故A错误；
对于B：因为，，所以，故B正确；
对于C：因为，，，
所以
，故C正确；
对于D：，故D错误．
11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：根据条件构造合适的辅助函数，再利用单调性比较函数值，结合偶函数性质逐一验证各选项.
解答过程：由 ，可得 ，
令，
则
由题设，且，
故，即在上单调递增.
选项A：设， 满足偶函数、，则，故A错误.
选项B：取，令，则，即，
因，则，即
对，，所以，即.
所以，，即，所以B正确.
选项C：由得，即，
则，所以C正确；
选项D：，即，
化简得，即，D正确.
三、填空题
12. 的展开式的常数项为______．
答案：16
解析：
思路：直接利用二项展开式的通项公式即可求解．
解答过程：，
因为的展开式的通项为，
所以令，即，则的常数项为1，
令，即，则的常数项为15，
所以的展开式的常数项为．
13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________．
答案：
解析：
思路：依题意可设，，由其导数可知在上为减函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出.
解答过程：设，，则其导数，
而当时，所以，即在上为减函数，
又由，为定义在上的奇函数，则，
则，
所以在区间上，，在区间上，，
则在区间上，，在区间上，，
又由是定义在上的奇函数，则，
且在区间上，，在区间上，，
综合可得：不等式的解集为．
14. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________．
答案：
解析：
思路：利用一步转移建立递推方程，再研究相邻两项差，将问题转化为等比数列求和，最后代入所求式子化简即可.
解答过程：当时，由一步转移得，整理得.
设，则，所以.
又，所以，即，得.
于是，且.
又，所以.
四、解答题
15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值；
（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
答案：（1）
（2）分布列见解析，1
解析：
思路：（1）根据频率之和为1列式计算即可；
（2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可.
（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在的频率为
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
所以.
16. 已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
答案：（1）；
（2）；
（3）最小值为，无最大值.
解析：
思路：（1）先求导，再代入求值；
（2）设，求的切线，即为的切线；
（3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性.
（1），
，
所以.
（2）设，则，
，，
所以在处的切线方程为，即.
（3）由（2）可知，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为，无最大值.
17. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙.
（1）求证：平面平面；
（2）若点是线段上的动点，且满足.
①若求平面与平面夹角的余弦值；
②若平面与平面的夹角为求λ的值.
答案：（1）证明见解析
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面；
（2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解.
（1）在矩形中，由，且为的中点，得，
则，，即，而，
且平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量，
则，取，得，
而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，
则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
②由，得，，
则，设平面的法向量，
则，取，得，
而平面的法向量，平面与平面的夹角，
则，解得，
所以.
18. 已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）已知函数，若对，使得，求的取值范围.
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，结合二次函数单调性，即可求得参数范围；
（2）根据题意，在区间上，，先利用导数分析的单调性，从而求得其最大值；再对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最大值，进而求得参数的范围.
（1）由题意知，
又函数在区间上单调递增，所以，
也即恒成立，
在上单调递增，所以，
解得，即的取值范围是.
（2）若对，使得，所以，
又，则，
当单调递增，当，单调递减，
所以；
因为，又在上单调递增，
又，，故，
当时，，所以在单调递减，
所以，所以，又，所以；
当时，，
当，所以单调递减，当，，所以单调递增，
又，所以在上的最大值是中较大的，
则只需且，解得：；
当时，，所以在单调递增，故，
所以6，又，故此时无解.
综上，的取值范围是.
19. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
答案：（1）
（2） （3），，
解析：
思路：（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；
（2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案.
（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.
3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为.
所以小王答3道题后积分小于6的概率为：
（2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以.
由题意知，所以，所以.
法二：的可能取值为2，4，6，8，10.
则：；；；
；
所以，.
（3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故；
当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故.
（i）当小王的积分为时，
若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为.
由全概率公式有，即，整理可得.
又，所以为等比数列.
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以.
所以
.
X
0
1
2
3
4
P