2025--2026学年青海西宁二中教育集团高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年青海西宁二中教育集团高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列中，＝1，＝2，则等于.
A. 2B. 2C. 4D. 4
3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 8
4. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分.
9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ）
A. Sn＝2n2－6nB. Sn＝n2－3n
C. an＝4n－8D. an＝2n
10. 数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则的公差为1
B. 若为等差数列，则的首项为1
C.
D.
11. 已知是函数的极值点，则（ ）
A. 有1个零点
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 过点与曲线相切的直线有2条
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的前n项和为，若，则________．
13. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.
14. 已知实数，满足
，则的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在上的最大值、最小值.
16. 已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.

（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
18. 已知数列中，，且满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，为数列的前n项和，证明：．
19. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明.
数学
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案.
解答过程：由，
所以，即，
所以曲线在点处的切线的斜率是.
故选：A.
2. 已知等比数列中，＝1，＝2，则等于.
A. 2B. 2C. 4D. 4
答案：C
解析：
解答过程：试题分析：，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.
考点：等比数列的性质
3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 8
答案：A
解析：
思路：应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求.
解答过程：由题设，可得，故，
所以，故.
故选：A
4. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由已知结合等差数列的求和公式可得，，由等差数列的性质可知，，结合已知可得，，即可判断．
解答过程：解：等差数列中，且满足，
∴，
由等差数列的性质可知，，
∵首项，公差，
∴，
∴，，
则的最大项为．
故选C．
方法提示：本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
5. 设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值.
解答过程：设等比数列的公比为．
若，则，不符合题意，
所以，解得．
又因为和的等差中项为，所以，则，解得．
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以的最大值为．
故选：B.
6. 函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：由题可知函数为奇函数，构造函数，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.
解答过程：由函数满足，可知函数为奇函数，
，
即，
构造函数，
由题意知：在上，，
故在上单调递减，
为奇函数，
，
即为奇函数，
故在R上单调递减，
因此原不等式可化为：，
即，解得.
故选：D．
7. 已知数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解.
解答过程：由数列满足，
则
，
所以，
又由函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，
当时，可得；当时，可得，
因为，所以的最小值为.
故选：A.
8. 设函数，若，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先根据得出同号的情况，进而得到，从而构造函数，利用导数求得的最大值.
解答过程：记，易知在相同区间内均单调递增，
由知，或，
即在相同区间内均同时成立，故有相同的零点，
不妨设该零点为，则，
则，即，则，故，
记，则，
令，得；令，得；
则在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即的最大值为.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分.
9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ）
A. Sn＝2n2－6nB. Sn＝n2－3n
C. an＝4n－8D. an＝2n
答案：AC
解析：
思路：根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，
解答过程：依题意，
，
所以.
故选：AC
10. 数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则的公差为1
B. 若为等差数列，则的首项为1
C.
D.
答案：AD
解析：
思路：本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D．
解答过程：因为，所以，两式相减得．
若数列为等差数列，则的公差．
又，所以，解得，所以A正确，B错误；
，
所以，所以C错误．
因为，所以恒成立，
即成立，所以D正确，
故选：AD．
11. 已知是函数的极值点，则（ ）
A. 有1个零点
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 过点与曲线相切的直线有2条
答案：ACD
解析：
思路：求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D.
解答过程：由得，则，
解得，则，当时，，
当时，，所以在，上单调递增，
在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，
满足是函数的极值点，
又，由零点存在定理得有1个零点，A正确；
由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；
因为
，所以曲线关于点对称，C正确；
设过点的直线与曲线相切于点，
所以切线方程，
将点代入切线方程为，
整理得，即，解得，或，
过点的直线与曲线相切于点或，
因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的前n项和为，若，则________．
答案：768
解析：
思路：
先将代入已知条件化简得到数列是等比数列，再写出通项公式，计算即得结果.
解答过程：由，得，即，又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以，所以．
故答案为.
13. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.
答案：
解析：
思路：
由曲线在点处的切线方程是，故，再结合
，，得到，故得解.
解答过程：由曲线在点处的切线方程是，故，
又
在点处的切线方程是：
故答案为.
方法提示：本题考查了导数在切线问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
14. 已知实数，满足
，则的值为__________.
答案：
解析：
思路：通过换元简化复杂解析式，构造两个单变量辅助函数，利用导数分别判断单调性、求出最值，结合不等式约束关系，确定仅当两个函数同时取到对应最值时原不等式成立，最后联立等量关系求解未知数，从而得到所求.
解答过程：设 ，则，
原不等式可改写为： ，
移项得 ，
设 ， ，
当时， ，单调递增，
当时， ，单调递减，
所以的最大值为 ，即 ，
设hn=en−n−2 ， ，
当时， ，单调递减，
当时， ，单调递增，
所以的最小值为 即 ，
由题意可知，且， ，
可知：，此时：，，
即得到方程组4x+y−4=12x−3y−2=0，解得：，，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在上的最大值、最小值.
答案：（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）最大值为40，最小值为.
解析：
思路：（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；
（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解；
（3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值.
（1）因为，则，
则，而直线的斜率为，
则，解得.
（2）由（1）可知，所以，定义域为，且.
令，即，化简可得，解得，
当，即时，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当即时，解得，
所以的单调递减区间为.
综上，得单调增区间为和，单调减区间为.
（3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点，
则
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
16. 已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）
（2）Sn=(6n−2)4n+1+89 解析：
思路：（1）利用等差数列的通项公式进行计算即可；
（2）利用错位相减法求和.
（1）设等差数列的公差为，则，所以，
又，所以 ，所以，
所以.
（2）由（1）可知，
则①，
所以4Sn=2⋅24+4⋅26+⋯+2n−1⋅22n+2n⋅22n+2②，
由①②得：
，
所以Sn=−89(4n−1)+2n⋅4n+13=6n⋅4n+1−2⋅4n+1+89=6n−24n+1+89.
17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.

（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
答案：（1），其中，
（2）解析：
思路：（1）由题意可求得，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示出各个面积，从而可表示出关于的函数关系式；
（2）对关于的函数关系式求导，然后根据导数的正负求出其单调区间，从而可求出其最大值.
（1）依题意得，，
则
，
其中，.
（2），令，得，
当，，函数递增，当时，，函数递减.
所以，是函数的极大值点，且唯一；
从而当时，日效益总量可取得最大值.
18. 已知数列中，，且满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，为数列的前n项和，证明：．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解；
（3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明.
（1）由题意知，所以，
由于，故，
故，
故数列是以3为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以，故
（3）由（2）知．，
所以，-
故
由于，故，
19. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明.
答案：（1）答案见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间；
（2）先由得到的初步范围，再结合第（1）问的单调性，证明该范围下函数在上恒非负；
（3）通过构造辅助函数和，利用函数的单调性和对称性证明方程的两个根满足.
（1）函数定义域为
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，则或，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，令，则或，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，所以.
下证当时，在上恒成立.
由（1）知，时，在上递增，
所以，
所以当时，在上恒成立.
（3）因为，
令，即，
所以，
所以在上单调递增，上单调递减，且，,
当时，，
所以不妨设，且.
令，则，
因为当时，，
所以，所以在上单调递增.
所以，即，所以，
因为，，在上单调递减，
所以，即.0
4
0
减函数
增函数
40