2025--2026学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 可以表示为（ ）
A. A3012B. A3013C. A3017D. A3018
2. 已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 18
4. 由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A. 360B. 180C. 156D. 150
5. 函数的单调递减区间是
A. B. C. D.
6. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ）
A. 9B. 2C. D.
7. 已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（ ）
A. B. 2025C. D. 4050
8. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则y'=x+1ex
C. 若，则
D. 若y=xe2x+1，则y'=x+1e2x+1
10. 设数列的前项和为，且，则（ ）
A.
B. 是单调递增数列
C. 是等比数列
D. 的最大值是30
11. 已知函数，则（ ）
A. 点是函数图象的对称中心B. 是函数的极小值点
C. 当时，D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为___________．
13. 4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法．
14. 数列前项和为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最值.
17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证.
19. 已知函数fx=xex−1−a ．
（1）求的极值
（2）若，讨论的零点的个数；
（3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 可以表示为（ ）
A. B. A3013C. D. A3018
答案：B
解析：
解答过程：题目中的式子18×19×20×⋯×30 ，项数为 30−18+1=13 项
由排列数的公式可知，可以表示为A3013．
2. 已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点.
解答过程：由图知上，上且仅有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
故选：D
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 18
答案：C
解析：
解答过程：由等差数列的性质可得，即，
故.
4. 由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A. 360B. 180C. 156D. 150
答案：B
解析：
解答过程：第1步，个位上的数字为2或4或6，有3种方法，
第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，有种方法，
故可以组成个符合条件的数．
5. 函数的单调递减区间是
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求得，结合，即可求解.
解答过程：由题意，函数的定义域为，
可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
6. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ）
A. 9B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意得，化简得，解得，再由即可求解．
解答过程：设正项等比数列的公比为，因为成等差数列，
所以，即，
解得 （舍去）或，
所以．
故选：A．
7. 已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（ ）
A. B. 2025C. D. 4050
答案：A
解析：
思路：利用递推关系求得数列的前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，进而可求得数列前2025项的和.
解答过程：由，，解得，又，解得，
又，解得，所以数列是以3为周期的周期数列，
所以
所以.
故选：A.
8. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小.
解答过程：因为，所以（当且仅当时取等号），
所以函数在上单调递增.
又，即，所以，
即.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若y=xe2x+1，则y'=x+1e2x+1
答案：AB
解析：
思路：利用导数公式与导数运算法则逐项求解可得答案．
解答过程：对于A：由，得，A正确；
对于B：由，得y'=ex+xex=1+xex，B正确；
对于C：由，得，C错误；
对于D：由y=xe2x+1，得y'=x'e2x+1+xe2x+1'=e2x+1+x⋅2e2x+1=1+2xe2x+1，D错误．
10. 设数列的前项和为，且，则（ ）
A.
B. 是单调递增数列
C. 是等比数列
D. 的最大值是30
答案：ACD
解析：
思路：根据条件得为等差数列，且首项，公差，逐一判断即可．
解答过程：在数列中，由，得，
因此数列是首项，公差的等差数列，
对于A，an=10−2n−1=−2n+12， A正确；
对于B，Sn=10n+nn−12×−2=−n2+11n， Snn=−n+11 ，因此是单调递减数列，B错误；
对于C，2an+12an=2−2n+1+122−2n+12=2−2，因此数列是等比数列，C正确；
对于D，Sn=−(n−112)2+1214，则当或6时，Snmax=30 ，D正确．
11. 已知函数，则（ ）
A. 点是函数图象的对称中心B. 是函数的极小值点
C. 当时，D. 当时，
答案：AD
解析：
思路：对函数求导，得出函数的单调性并结合图象即可判断出B选项，利用中心对称的定义计算可判断A，对于C选项，由，求得的范围，结合函数最值的性质即可求解；D选项，根据已知自变量的范围判断函数值的范围，进而比较大小.
解答过程：由题意，，求导可得，令，得，
当或时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减，且，
可作出大致图象如图所示．
对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确；
对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误；
对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C错误；
对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为___________．
答案：
解析：
解答过程：因为，所以，
将代入可得切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
13. 4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法．
答案：96
解析：
解答过程：第一步：4名护士之间的排法，有种方法；
第二步：2名医生之间的排法，有2种方法；
第三步：医生和护士之间，有2种方法；
所以，不同的排法种数有种．
14. 数列前项和为___________．
答案：
解析：
思路：先对数列的通项公式进行拆分化简，采用裂项相消法求前项和.
解答过程：数列的第项为：，
故
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据条件先求出首项和公比代入等比数列通项求解即可.
（2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，用分组求和的方法代入求解即可.
（1）设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为，
根据已知条件，可列出方程组，化简得：，
将代入，解得，
因此通项公式为；
（2）这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和．
．
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最值.
答案：（1）函数在上单调递增，在上单调递减
（2）最大值，最小值，
解析：
思路：（1）根据导数的正负得出其单调性；
（2）根据第一问的函数单调性得出其最值.
（1）函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减
且，，
则在上的最大值，最小值，
17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由与的关系求数列的通项公式；
（2）利用“错位相减法”求数列的前项的和.
（1）当时，.
当时，，用代替，可得.
两式相减得：，
又，
所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 .
（2），
所以：

两式相减得：，
所以： .
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证.
答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性.
（2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式.
（1）函数中，，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，时，时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当时，，
设，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，则，
所以.
19. 已知函数fx=xex−1−a ．
（1）求的极值
（2）若，讨论的零点的个数；
（3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列
答案：（1）极小值为，无极大值.
（2）当时，在上有两个零点；当或时，有唯一零点；当时，无零点．
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）先求出函数的导数，借助导数正负划分单调区间，判断出函数在单调递减、在单调递增，进而确定为极值点，代入解析式算出函数的极小值.
（2）将函数零点问题转化为方程有解的问题，构造辅助函数，求导分析的单调性与最小值，再结合在不同区间的取值范围，分类讨论参数的取值，以此判定零点的个数情况.
（3）由前面结论得到时函数唯一零点满足的等式，对等式两边取对数建立关于与的关系式，两式作差整理得到与的大小关系，再利用函数在上的单调性，推导出，从而证明数列为递增数列.
（1），所以当时，，单调递减：
当时，单调递增，
所以，当时，有极小值为f−1=−1e2−a ，无极大值.
（2）令，即，设，
因为，所以当时，单调递减：
当时，单调递增，
又时，gx