新高考数学一轮复习讲义+专项训练第3章第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习讲义+专项训练第3章第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体原卷版docx、人教版2019选择性必修2高二化学同步精品讲义习题331金属晶体解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc32046" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
02 \l "_Tc22569" 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc22569 \h 3
03 \l "_Tc3729" 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc3729 \h 3
\l "_Tc25347" 知能解码 PAGEREF _Tc25347 \h 3
\l "_Tc21921" 知识点1 平均变化率 PAGEREF _Tc21921 \h 3
\l "_Tc31533" 知识点2 导数的概念 PAGEREF _Tc31533 \h 4
\l "_Tc29735" 知识点3 导数的几何意义 PAGEREF _Tc29735 \h 4
\l "_Tc32130" 知识点4 基本初等函数的导数公式 PAGEREF _Tc32130 \h 5
\l "_Tc16072" 知识点5 导数的运算法则 PAGEREF _Tc16072 \h 5
\l "_Tc29799" 知识点6 曲线的切线问题 PAGEREF _Tc29799 \h 6
\l "_Tc29420" 题型破译 PAGEREF _Tc29420 \h 6
\l "_Tc13861" 题型1 导数的概念 PAGEREF _Tc13861 \h 6
\l "_Tc6480" 题型2 导数的运算 PAGEREF _Tc6480 \h 7
\l "_Tc28092" 题型3 在点P处的切线 PAGEREF _Tc28092 \h 8
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
\l "_Tc10592" 题型4 过点P处的切线 PAGEREF _Tc10592 \h 9
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
\l "_Tc29608" 题型5 已知切线或切点求参数 PAGEREF _Tc29608 \h 10
\l "_Tc25957" 题型6 公切线问题 PAGEREF _Tc25957 \h 10
【方法技巧】公切线求解关键点
\l "_Tc1509" 题型7 已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc1509 \h 11
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
\l "_Tc19696" 题型8 距离最值转化为相切问题 PAGEREF _Tc19696 \h 11
【方法技巧】平移切线法
\l "_Tc8475" 题型9 奇偶函数切线问题 PAGEREF _Tc8475 \h 12
04 \l "_Tc32741" 真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc32741 \h 13
\l "__x0001__5" 05课本典例·高考素材 \l "_Tc3092" PAGEREF _Tc3092 \h 13
\l "_Tc25045" 知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
自主检测函数f(x)=x2在区间1,3上的平均变化率为（ ）
A．6B．3C．2D．4
\l "_Tc25045" 知识点2 导数的概念
1．定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2．定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
自主检测设函数fx的导函数为f'x，且f'x0=2，则limΔx→0fx0+2Δx−fx0Δx=（ ）
A．1B．4C．3D．2
\l "_Tc25045" 知识点3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
自主检测若曲线y=x2−lnx在x=0.5处的切线的斜率为（ ）
A．1B．−1C．22D．e
\l "_Tc25045" 知识点4 基本初等函数的导数公式
自主检测已知 fx=−1x3 ，则 f′x=（ ）
A．−3x3B．3x4C．1xD．−1x2
\l "_Tc25045" 知识点5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数fx=xlnx，则f′π= ．
\l "_Tc25045" 知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
自主检测已知函数fx=x3−x+1，则fx的图象在点1,1处的切线方程是（ ）
A．4x+y−5=0B．4x−y−3=0
C．2x+y−3=0D．2x−y−1=0
题型1 导数的概念
例1-1已知函数fx=lg2x，则limx→2fx−f2x−2= .
例1-2已知函数f(x)=x2+1x，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=（ ）
A．1B．12C．2D．4
【变式训练1-1】已知f′(x0)=4，lim△x→0f(x0+2△x)−f(x0)△x的值为（ ）
A．4B．2C．8D．16
【变式训练1-2】设函数fx满足limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=1，则f′x0=（ ）
A．1B．2C．12D．3
【变式训练1-3】已知函数fx=−12x2+lnx，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx的值为（ ）
A．eB．−2C．−12D．0
题型2 导数的运算
例2-1求下列函数的导数：
(1)y=x2sinx；
(2)y=lnx+1x；
(3)y=csxex；
(4)y=lnx2+1；
例2-2求下列函数的导数
(1)y=−3x2−5x+6；
(2)y=x⋅sinx+ex
(3)y=lnxx2+1
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)y=x2csx
(2)y=lnx+1x2
(3)y=tanx2x−lg3x
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)fx=x⋅csx
(2)fx=exx
(3)y=lnx+1x
(4)y=2x2−13x+1
(5)y=x−sinx2csx2
(6)y = tanx
题型3 在点P处的切线
例3-1曲线y=sinxcsx−1在点0,−1处的切线方程为（ ）
A．x−2y+2=0B．x+2y−2=0
C．x−y−1=0D．x−y+1=0
例3-2曲线y=ex+1x+2在x=0处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=3e4xC．y=e4x+e2D．y=3e4x+e2
方法技巧 （在型切线求解步骤）
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数fx=23x3−2x的图象在点3,f3处的切线方程为 .
【变式训练3-2·变考法】已知函数f(x)=x2−3x,x∈0,22fx−2,x∈2,+∞，则fx在点3,f3处的切线方程为（ ）
A．8x+y−40=0B．2x+y−10=0
C．2x−y−10=0D．2x+y−2=0
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx=sinx+f′0csx，则fx在点π2,fπ2处的切线方程为 .
题型4 过点P处的切线
例4-1过点0,−4作函数fx=x−4x图像的切线，则切线方程为（ ）
A．y=5x−4B．y=4x−4
C．y=3x−4D．y=2x−4
例4-2已知fx=x2−2x+3，则过点A2,−6且与fx相切的直线方程为 .
方法技巧 “过”型切线求解步骤
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练4-1】（多选）过点0,1向曲线y=x3−3x2作切线，切线方程可能是（ ）
A．4x−15y+15=0B．3x+y−1=0
C．x+3y−3=0D．15x−4y+4=0
【变式训练4-2】已知曲线y=2ex，过点0,2作切线l，则l的方程为 ．
【变式训练4-3·变题型】若曲线y=x+aex存在过原点的切线，则实数a的取值范围为 ．
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1若曲线fx=x2−32aln2x+1在点P1，f1处的切线与直线y=x−2垂直，则实数a的值为（ ）
A．3B．5C．2D．1
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线y=x为曲线y=eax+b的一条切线，则ba的最小值为 ．
【变式训练5-1】函数f(x)=ex+ax在x=0处的切线与直线3x−2y−5=0平行，则实数a=（ ）
A．−1B．1C．12D．14
【变式训练5-2】设曲线y=eax在点0,1处的切线斜率为2，则a的值是（ ）
A．12B．−12C．2D．−2
【变式训练5-3】（2025·河北张家口·三模）已知曲线C:y=2a+lnxe−x在x=1处的切线与y轴垂直，则实数a的值为 .
题型6 公切线问题
例6-1若直线l是曲线y=lnx−1与y=ln(x−1)的公切线，则直线l的方程为 .
例6-2（2025·辽宁·模拟预测）曲线y=ex与曲线y=2ex的公切线方程为 .
方法技巧 公切线求解关键点
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点
横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式训练6-1·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线y=lnx在x=1处的切线与曲线y=ex+a相切，则a= ．
【变式训练6-2·变考法】已知曲线fx=lnx+1与gx=ax2+32a>0有公共切线，求实数a的取值范围是
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线f(x)=x与曲线g(x)=a+lnx存在公切线，则a的取值范围是 ．
题型7 已知切线条数求参数
例7-1．过点Pt,−2t作曲线y=−2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是（ ）
A．−∞,−1∪1,+∞B．−1,1C．−∞,1D．−∞,−1
例7-2若过点(1,m)可以作曲线y=x−2xx>0的两条切线，则实数m的取值范围是 ．
方法技巧 已知切线求参数关键点
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式训练7-1】过点1,0可以做三条直线与曲线f(x)=xex−t相切，则实数t的取值范围是（ ）
A．−5e2,0B．−5e2,eC．−5e,eD．−1e,0
【变式训练7-2】已知过点Pt,t与曲线fx=x(1+lnx)相切的直线有两条，则实数t的取值范围是
【变式训练7-3】已知fx=ax2+x+1ex.若a=0，过点Pm,0可作曲线y=fx的两条切线，求m的取值范围.
题型8 距离最值转化为相切问题
例8-1点A是曲线y=32x2−lnx上任意一点，则点A到直线y=2x−2的最小距离为（ ）
A．510B．55C．3510D．5
例8-2（2025·陕西西安·二模）若M是曲线f(x)=2x2−lnx上任意一点，则点M到直线y=3x−6的最小距离为 .
方法技巧 平移切线法
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式训练8-1】已知P是曲线y=lnx上的一个动点，则点P到直线x−y+2=0的最小距离为 ．
【变式训练8-2·变考法】1．已知lnx1−x1−y1+2=0,x2+2y2−4−2ln2=0,M=x1−x22+y1−y22，则（ ）
A．M的最大值为255B．M的最大值为45
C．M的最小值为45D．M的最小值为255
题型9 奇偶函数切线问题
例9-1已知偶函数fx的定义域为R，且当x0时，fx=2lnx+2，则曲线y=fx在点−1,−2处的切线斜率为 .
【变式训练9-1】已知函数fx的定义域为R，fx是偶函数，当x