第02讲 导数与函数的单调性（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第02讲 导数与函数的单调性（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1函数的单调性 知识点2求可导函数单调区间的一般步骤
知识点3已知函数的单调性求参数 知识点4含参函数的单调性讨论
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型1 求不含参函数的单调区间" 题型1 求不含参函数的单调区间
【方法技巧】求不含参数函数单调区间的步骤
\l "__x0001_题型2 函数图象与导函数图象的关系" 题型2 函数图象与导函数图象的关系
【方法技巧】函数的图象与导函数图象之间的关系
题型3 已知函数在区间上单调求参数
\l "__x0001_题型4 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数" 题型4 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
\l "__x0001_题型5 利用单调性比较大小" 题型5 利用单调性比较大小
【方法技巧】构造函数比较大小
题型6 利用单调性解不等式
【方法技巧】判断函数性质解不等式
\l "__x0001_题型7 含参单调性讨论（一次型）" 题型7 含参单调性讨论（一次型）
题型8 含参单调性讨论（二次型可因式分解）
题型9 含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数在某个区间内可导，如果（不恒等于0），则为增函数；如果（不恒等于0）nn，则为减函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.
③可导函数在上单调递增的充要条件是对，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为0．
自主检测1．已知函数，定义域为.任取，导函数始终存在.那么是在上是严格增函数的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】若，则，满足，但不是严格增函数.
所以，推不出是严格增函数.
若是严格增函数，则恒成立.
所以是严格增函数，能推出恒成立.
所以是是严格增函数的必要不充分条件.
故选:B.
\l "_Tc25045" 知识点2 求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
自主检测2．求函数的单调区间．
【答案】的单调减区间为，单调增区间为.
【详解】函数的定义域为，
,
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上：的单调减区间为，单调增区间为
\l "_Tc25045" 知识点3 已知函数的单调性求参数
1．函数在区间D上单调递增在区间D上恒成立；
函数在区间D上单调递减在区间D上恒成立；
2．函数在区间D上存在单调递增区间在区间D上能成立；
函数在区间D上存在单调递减区间在区间D上能成立；
3．已知函数在区间D内单调在区间D上不存在变号零点；
4．已知函数在区间D内不单调在区间D上存在变号零点
自主检测3．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【详解】，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即：，得，
设，
当时，函数单调递增，
所以，所以有，
因此实数的取值范围为.
\l "_Tc25045" 知识点4 含参函数的单调性讨论
1．讨论的分类标准：
①最高次的系数是否为0;②导数等于0时有根还是无根;③多根情况要比较两根大小;④根是否在定义域或指定的区间内
2．讨论单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数的分子部分的最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0;
第三步:令，确定分类点:①是否存在根;②根比较大小；
第四步：利用数轴穿根法判断每个根分定义域的每个区间的导数的正负情况；
第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起
自主检测4．已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】
【详解】（1）当时，，
，则，
又，∴曲线在点处的切线方程为．
（2），，
，，由，得，由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
题●型●破●译
题型1 求不含参函数的单调区间
例1-1（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由，得所以在上是增函数，故A正确.
由，则，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误.
由，，在定义域上是增函数，故C正确.
由，得，定义域为，当时，，当时，，在定义域内不是增函数，故D错误．
例1-2（2026·河南许昌·三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：（e为自然对数的底数）；
(3)已知，数列的前项和为，试比较与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)的递增区间是，；递减区间是：，．
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】
【详解】（1）
，
显然， ，当 时，，．
当 时，，．
所以，的递增区间是，；递减区间是：，．
（2）设．
当时，，，
所以，满足题目条件．
当时，又，
所以，单调递增，而，所以，．
当时，设，为偶函数；当时，，在上单调递增，即，又因为为偶函数，易知，所.
又设，在单调递减，在单调递增，即，所以，所以即．
综上可得，（当且仅当时取等号）．
所以，．
（3）．理由如下：
由（2）知，用代替x，得．
两式相加得：，取，
则．
又因为，
所以，所以．
所以，，即成立
【变式1-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点），
选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C.
图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D.
选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）；
时，，，且时，，符合图像左半部分趋势；
时，，，时，符合；
时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征.
【变式1-2】（2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围；
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【分析】
【详解】（1）当时，，
则，
令，则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，因此：时，，
时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由可知，
①当时 若，由于，
当时， ，而. 故存在使得.
若，，取 ，，满足题意.
②：当时，令，则，时，，
故在递增，且最小值为，
由，方程在上有唯一实根，
使得，则为的最小值点.
根据题意需满足： ，
代入： ，
则 ，整理得 ，
解得：或.
由，得：当 时，.
当 时，.
综上所述，的取值范围是.
题型2 函数图象与导函数图象的关系
例2-1（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”，
当时，且递增，则函数在上单调递减，
且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意.
例2-2（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【详解】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为，，
下面的曲线为，与的轴交点横坐标为，
由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势；
由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势；
又这两个函数图象为函数及其导函数的图象，
所以对应的是，对应的是；
所以当时，单调递减，且，
当时，单调递增，且当时，当时；
对于A、B：由，所以，
显然，当时，所以，则在上单调递减，
当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误；
对于C、D：，则，
显然，且当时，即，
所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
【变式2-1】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，，
在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数；
在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数.
故只有C选项，导函数图象满足题意.
【变式2-2·变考法】（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________．
【答案】
【详解】不等式，由图象可知，所以
单调递增，，所以；
单调递增，，所以；
因为，，所以；
单调递减，，所以；
单调递减，，所以；
所以的解集为.
【变式2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）

A．函数的最大值为1B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1D．函数的最小值为1
【答案】C
【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象.
并且当时，；当时，.
对函数，，
因为，在上恒成立，所以在上恒成立.
即函数在上单调递增，无最值；
对函数，，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得最大值，为.
故选：C
题型3 已知函数在区间上单调求参数
例3-1（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在恒成立，即，
令，所以只需即可.
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取到最小值为，即，
所以实数的取值范围是.
例3-2（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
【答案】
【详解】函数的定义域为，，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，则，
故在上单调递减，
故，故的取值范围为.
【变式3-1】（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
，
在区间上恒成立，
， ，
设， ，
，，，在上单调递增，
当时，，
则在内，有，
故，故的取值范围为.
【变式3-2·变载体】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，
在上单调递增，最大值为；
当时，，求导得，
要使在上单调递增，需对所有恒成立，
即，则，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得最大值，，
，
在上单调递增，
，解得，
综上可得，．
【变式3-3·变题型】（2025·26高三上·安徽·期末）已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________．
【答案】1
【详解】.
不妨取，则，
所以，即，
亦即.
令，
则问题等价转化为是增函数.
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，
则，
因为二次函数在上单调递增，
所以当时，，
即，所以是增函数，
所以，即，所以实数的最大值为1.
故答案为：1.
题型4 已知函数在区间上存在单调或不单调求参数
例4-1（2024·25高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为函数在区间上存在增区间，
所以在上有解，
即不等式在上有解，
当，时，由可得，不满足要求，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
例4-2（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，在上不单调，
在上有变号零点，
即存在， 使得，
在上有解，在上有解，
，，，
，即，解得，在上是增函数；
，即，解得，在上是减函数.
又，，，，
在上有解，，
当时，，设，，
当，解得，得在上是增函数；
当，解得，得在上是减函数.
则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得.
故选：B
【变式4-1】若函数存在增区间，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式4-2·变考法】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由函数的对称轴为，
若在上不单调，则满足，解得；
又由函数，可得，
若在上不单调，则满足，解得，
所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，
可得，所以实数的取值范围为.
故选：D.
【变式4-3】（2025·福建三明·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求证：单调递增；
(2)若在上不单调，求的取值范围；
(3)当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：）
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)证明见详解
【分析】
【详解】（1）当时，，，
令，，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
则，即恒成立，
故单调递增.
（2），因为，所以，
若在上单调，则有解，即在恒成立，
即，令，，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
，则时，在上单调，
所以若在上不单调，则.
（3）由（2）知，当时，在单调递增，所以；
当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，如图，

则时，有两个根，
又，，所以不妨取，
当，，即，
同理可得或，，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
令，，
所以时，，单调递减，又，
所以在上恒成立，即，又，
故此时的最小值为1，
综上时，在上的最小值为1.
题型5 利用单调性比较大小
例5-1（2025·河北保定·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由可得函数的定义域为，
由题意知，
令函数，且，
则，即在单调递增，所以，
故在区间上恒成立，则在上单调递减，
所以，由函数的单调性可知.
故选：B
例5-2（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，则.
当时，则，可得，所以在上单调递减.
因为，且，
所以，即．
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
【详解】∵，
∴，∴是偶函数，
，
当时，，故函数在上单调递增，
令，则，
即函数在上单调递减，故，
即，而，
所以，
∴．
故选：C．
【变式5-2】（2024·25高三上·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可得，
当时，，
所以在上单调递增，
又，所以，
即，则，
所以.
故选：D
【变式5-3·变考法】已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，
由于，故，即，
设，可得，
令，解得，
当时，单调递增，可得，
即，即，
两边取为底的指数，可得，即，所以.
故选：A.
题型6 利用单调性解不等式
例6-1（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
，所以为偶函数，
由得，
当时，，，，
有，
，，，
有，故，
所以在上单调递减，又，
所以等价于，由偶函数性质得，所以，
所以，故不等式的解集为.
故选：D
例6-2（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得：，，
则关于对称，，
所以在上单调递增，等价于，
所以，即，所以．
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】定义域为，，故为上偶函数，
当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
整理得，，解得，
故选：C．
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，求导得，令，
求导得，则函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递减，而，当时，不等式，因此；
当时，，由，得，因此，
所以不等式的解集为.
故选：D
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可得，
所以，
即有，即，
故不等式等价于，
又，
当时，，故，
当时，
，，故，
即恒成立，故在上单调递增，
故由可得，即.
故选：A.
【变式6-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【详解】因为函数，所以，即函数为奇函数，
且，则函数为增函数，
则不等式等价于，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型7 含参单调性讨论（一次型）
例7-1（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上的最小值为，求.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由得，由，得，
所以在上单调递减；在上单调递增
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，由题意得，
解得，与矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，则，由题意得，
解得，与矛盾，舍去；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
由题意得，解得，符合，所以.
当时，在上单调递减，则，由题意得，
解得，与矛盾，舍去.
综上可得，实数的值为.
例7-2（2026·福建厦门·二模）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）函数的导数为，
当时，恒成立，故，所以在上单调递增；
当时，令 ，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，
因此，对任意，有.
只需证明 ，即
令，.
求导得，
，故在上单调递增.
由知，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以在处取得最小值.
因此，即成立，等号当且时取得.
【变式7-1】（2026·江苏·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．
【答案】(1)①当时，，则在上单调递增;
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析
【详解】（1）（1）因为的定义域为，
的导函数.
①当时，，则在上单调递增.
②当时，令，得；
令，得；
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（2）（2）因为曲线经过点
所以，解得．
所以．
因为，所以的方程为.
要证除切点外，曲线在直线的下方，
即证：，
只需证：.
设，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
所以当时，，
所以原命题得证.
【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)时, 没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
【分析】
【详解】（1） ，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）可知，的最小值为，计算得：
根据最小值与0的大小关系分三种情况讨论：
当时，即时， 恒成立，没有零点；
当时，即时， 恒成立，此时有唯一零点；
当时，即时， 存在，而时，，时，，根据零点存在定理可知，有两个零点.
综上，时， 没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
【变式7-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，．
(1)若在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故在上单调递减，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
题型8 含参单调性讨论（二次型可因式分解）
例8-1（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（且）.
(1)当时，求的极小值点与极小值；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)是的极小值点，极小值为
(2)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【分析】
【详解】（1）当时，，其定义域为，
求导，得，
令，即，
因为，所以，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，极小值为.
（2）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，，
在上，，所以在上单调递减，
在上，，所以在上单调递增，
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例8-2（2024·25高二下·江苏南通·期末）已知函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调增区间；
(3)若存在极大值点，求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）若，则，，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为；
（2），定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和．
综上，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和；
（3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，，；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意；
综上，若存在极大值点，则．
【变式8-1】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数.
(1)已知在取得极值，求a的值，
(2)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）因为，
所以，
因为在取得极值，
所以 ，
经检验符合题意；
（2）由题意可知的定义域为， .
由可得或，
当时，,故在上单调递减.
当时，，故令，解集为，
令，解集为，
因此的递增区间为，递减区间为，.
当时，，令，解集为，
令，解集为，
因此的递增区间为，递减区间为，.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，.
【变式8-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，在恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由，，，
求导得.
当，由，解得或；由，解得.
当时，恒成立.
当时，由，解得或；由，解得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，的在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以.
令，，得.
令，，得，
所以在单调递减，得，
所以.所以在上单调递减.
因为且，所以，
则，所以a的取值范围为.
【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数，．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）因为，所以，
所以所求切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即；
（2），则函数定义域为，
所以，所以当时，有恒成立，在单调递减，
当时，由解得：，在上单调递减；
由解得：，在上单调递增；
综上，时，在单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，，
根据题意，不等式等价于，，
对于，，则
所以在上单调递减，所以，
则有，即，
设，，则，
所以在定义域内为减函数，又，
所以，所以，即的取值范围是.
题型9 含参单调性讨论（二次型不可因式分解）
例9-1（2026·山东青岛·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，，，使得，求的最大值.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【分析】
【详解】（1）由题得，.
若，则在上恒成立，所以在上单调递减；
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，若存在，，使得，
则必有，由.
所以等价于，
即，化简得：.
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
此时，.
所以当，时等号成立，所以的最大值为.
例9-2（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②.
【分析】
【详解】（1），
①当，即时，恒成立，在上单调递增．
②当，即或时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）(i)，
，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
则在上单调递增，则，得证．
（ii）当时，，同理有在上单调递增，
而，
故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得．
当时，单调递减；
当时单调递增．
，
故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意．
当时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．
【变式9-1】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）当时，，，
，此时，
因此曲线在点处的切线方程为．
（2）函数的定义域为，，
当，即时，，令，解得，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，中，，
当，即时，
方程在上仅有一个正根，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
方程在上有两个不等正根，
分别为，，
，
故，
令令得，令得，
此时函数在和上单调递增，
在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
（3）由（2）可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则，
函数的对称轴为，且，
故，且，解得．
【变式9-2】（2025·吉林·模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性并求其极值；
(2)若在内存在极值，求的取值范围；
(3)当取（2）中所求范围内的任意值时，求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）要使有意义，则.
下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域.
设，函数图象开口向上，对称轴为，
令，即，，其中，
①当时，，则在单调递增，
当时，，
故此时定义域为；
②当时，，也恒成立.
故定义域也为；
③当时，，
此时不等式组为，解得，或.
故定义域为；
④当时，，方程有两根，
，且，，
故函数的定义域为；
由，
则
①当时，.
则在单调递减，无极值；
②当时，，，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
此时有极小值；
③当时，定义域为，
，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
在处无定义，无极值；
④当时，，，
又，
由，且，
所以；
又，
所以，
且当时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
此时无极值.
综上所述，当时，在单调递减，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值；
当时，在单调递减，在单调递增；无极值.
（2）由（1）可知，要使在内存在极值，则.
所以的取值范围为.
（3）由题意，，的定义域为，
且在上单调递减，在单调递增，
，
所以，的最小值为.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________．
【答案】
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，
因为函数在内单调递增，则，即，
可得，解得，
且，，则，
解法一：因为函数为偶函数，
则，，且，
则，，
若，则，
即或，不符合题意，
若，则，
即或，符合题意；
且或；
综上所述：，.
解法二：因为，
若函数为偶函数，则，即，
且，则，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在内单调递减，不符合题意，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在内单调递增，符合题意，
且或；
综上所述：，.
解法三：因为函数为偶函数，且函数在内单调递增，
可知在处取到极小值，则，，且，
则，，则，
即或，符合题意；
且或.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2），
（3） （4）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；
【详解】（1），则函数在上单调递减，即单减区间为，无单增区间；
（2），，
则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
（3），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
（4），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；
2．函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状．
【答案】图象见解析
【详解】由图知：时，且为定值；
时，单调递减，且在上，在上；
时，单调递增，且在上，在上；
∴，单调递增且为斜率大于0的直线；
，单调递增；，单调递减；
，单调递减；，单调递增；
3．证明函数在区间上单调递减．
【答案】证明见解析
【详解】因为，所以，
当时，，
所以函数在区间上单调递减．
4．求函数的单调增区间．
【答案】
【详解】，
，
令，解得或，
的单调递增区间为.
5．求函数的单调区间，其中a是常数．
【答案】当时，单调递增区间为，，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，.
【详解】的定义域为
当时，恒成立，所以在，单调递增；
当时，令解得：或，
令解得：或，
所以函数单调递增区间为，，
单调递减区间为，；
综上：当时，单调递增区间为，，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为，.
核心考点
2026年
2025年
2024年
单调性与导数的关系
全国一卷T13（5分）
全国二卷T18（2）（i）（5分）
全国I卷T10（6分）
全国甲卷（文）T16（5分）
含参函数讨论单调性
——
——
全国甲卷（文）T20（1）（5分）
全国II卷T16（2）（7分）
考情分析
近三年考情显示，高考对导数与函数单调性的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。本节侧重以导数为工具判断单调区间、已知单调性求参数。常以选择、填空或解答题第一问出现，难度以基础、中档为主。只要掌握导数符号与单调性的对应关系，能规范求解单调区间、处理含参问题，结合转化与化归思想，即可顺利解决相关试题。
复习目标
1.结合具体函数与图像，直观理解函数单调性与导数符号的对应关系。
2.熟练运用导数判断并求解函数的单调区间。
3.掌握含参函数单调性的分类讨论方法，做到分类标准清晰、讨论不重复、不遗漏。
4.能根据函数单调性逆向求解参数范围，提升逻辑推理与规范表达能力。
方法技巧 求不含参数函数单调区间的步骤
①确定函数的定义域；②求导数.
③由 (或)，解出相应的x的范围，
当时， 在相应的区间上是增函数;当时， 在相应区间上是减函数；
④结合定义域写出单调区间.
注意:当单调区间有多个时，不要写成并集，用“，”隔开即可.
方法技巧 函数的图象与导函数图象之间的关系
注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减;而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
方法技巧 构造函数比较大小
据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的函数值，再由单调性直接判断大小关系。
方法技巧 判断函数性质解不等式
先将不等式化为形式，确定的单调性与定义域。利用单调性脱去对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。